Diseños de experimentos: superficies de respuesta

INTRODUCCIÓN

La RSM surge en 1951 con el trabajo de Box y Wilson, inicialmente para estudios en el campo de la química, pero ha tenido un desarrollo importante en los últimos 20 años en aplicaciones tanto teóricas como prácticas en diversos campos, potenciada por el avance de los sistemas computacionales.
La RSM a diferencia de los diseños experimentales corrientes, no sólo busca localizar eltratamiento de maximice o minimice la variable respuesta; también pretende localizar las condiciones óptimas de operación del proceso. Esto se logra a través de la experimentación, efectuando varios procedimientos secuenciales y técnicas matemáticas robustas que hacen que esta sea una estrategia de análisis más completa y que además, permite observar las estimaciones de la respuesta en todos losposibles niveles de los factores estudiados, sirviendo como guía al experimentador en la ejecución de los experimentos subsiguientes para localizar el punto de operación óptima.
El valor agregado de la RSM consiste en la posibilidad de obtener mejoras en las variables de interés de manera eficiente, rápida y a un bajo costo, permitiendo que el investigador inspeccione visualmente la respuestapromedio para las zonas de interés, evaluando la sensibilidad de la variable respuesta en dicha zona, respecto a los factores evaluados.


SUPERFICIES DE RESPUESTA

La metodología de superficies de respuesta (MSR) es una colección de técnicas matemáticas y estadísticas para modelar y analizar problemas en los que sobre una respuesta de interés influyen varias variables y el objetivo esoptimizar esta respuesta (y).
y= f(X1, X2, ..., Xk)+ ε
Donde:
X1, X2, ..., Xk son k factores cuantitativos que influyen en el valor esperado real η que toma la variable de interés considerada. Es decir, existe alguna función de X1, X2, ..., Xk (que se supone continua en Xi, ∀ i = 1, ..., k) que proporciona el correspondiente valor de η para alguna combinación dada de niveles:
E(y)=η = f(X1, X2, ...,Xk)
Entonces, la variable respuesta puede denotarse por:
Y = η + ε = f (X1, X2, ..., Xk) + ε.
ε es el error observado en la respuesta.
La relación η = f (X1, X2, ..., Xk) existente entre η y los niveles de los k factores puede representarse a través de una hipersuperficie (subconjunto de un espacio euclídeo (k+1)-dimensional) a la que llamaremos superficie de respuesta.
Objetivo: Determinarlas condiciones de operación óptimas del sistema o determinar una región del espacio de los factores en las que se satisfagan los requerimientos de operación.
Por lo general, la superficie de respuesta se grafica contra los niveles de X1 y X2. Ejemplo: Supongamos que un ingeniero agrónomo desea maximizar la producción de maíz de una granja (medida en Kg./Ha.) en función de las cantidades(medidas en Kg./Ha.) de dos tipos de fertilizante, A y B, que utiliza. Una superficie de respuesta para la producción de maíz se muestra en la figura 1.
Como se tienen dos factores de influencia (k=2), la superficie de respuesta puede visualizarse en un espacio tridimensional en el cual la altura de la superficie representa la producción esperada de maíz sobre el plano bidimensional definido por lascombinaciones de los niveles de los factores X1 y X2 (tratamientos).

Figura 1. Superficie de respuesta en la que se observa la producción esperada de maíz (η), en función de las cantidades de fertilizante tipo A (X1) y tipo B (X2) que se utilizaron.

Para visualizar la forma que puede tener una superficie de respuesta tridimensional, se suele analizar la gráfica de contornos de dichasuperficie, en donde se trazan las líneas de contorno, que son curvas correspondientes a valores constantes de la respuesta sobre el plano bidimensional. Geométricamente, cada línea de contorno es una proyección sobre este plano bidimensional (o plano X1X2, cuyos ejes vienen dados por los niveles de los factores X1 y X2), de una sección de la superficie de respuesta al intersecar con un plano paralelo al...