Disoluciones

Cálculo integral de funciones de una variable:
integral definida
B ENITO J. G ONZÁLEZ RODRÍGUEZ (bjglez@ull.es)
D OMINGO H ERNÁNDEZ A BREU (dhabreu@ull.es)
M ATEO M. J IMÉNEZ PAIZ (mjimenez@ull.es)
M. I SABEL M ARRERO RODRÍGUEZ (imarrero@ull.es)
A LEJANDRO S ANABRIA G ARCÍA (asgarcia@ull.es)
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de La Laguna

Índice
2. Integral definida

12.1. Introducción y motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2.2. Cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.2.1. Área del recinto donde interviene una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.2.2. Área del recinto donde intervienen dos funciones . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

5

2.3. Integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.3.1. Regla Trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.3.2. Regla de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.4. Aplicaciones de la integral definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.4.1. Valor medio de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.4.2. Respuesta cardiaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

M ATEMÁTICA A PLICADA Y E STADÍSTICA

OCW-ULL 2013

C ÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE : INTEGRALDEFINIDA

2.

1/15

Integral definida

2.1.

Introducción y motivación

Sea y = f (x) una función definida en el intervalo [a, b], positiva y continua. Se pretende calcular el área
encerrada por la gráfica de la función y el eje OX.

Figura 2.1. Integral de Riemann: aproximación del área bajo la curva por rectángulos.

Para ello dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos pormedio de una partición

Pn = {a = x0 < x1 < . . . < xk−1 < xk < . . . < xn = b}.

En cada subintervalo [xk−1 , xk ] (1 ≤ k ≤ n) elegimos un punto xk . El área del rectángulo de base [xk−1 , xk ] y
altura f (xk ) es:
ak = f (xk )(xk − xk−1 ).
Una aproximación del área buscada será:
n

An =

n

∑ ak = ∑ f (xk )(xk − xk−1 ).
k=1

k=1

Refinando la partición Pn , esto es, aumentandoel número de subintervalos, en el límite para n → ∞ resulta
n

A = l´m An = l´m
ı
ı
n→∞

n→∞

∑ f (xk )(xk − xk−1 ).
k=1

Definición 2.1.1. Las funciones f (x) para las cuales existe y es finito el límite anterior se denominan funciones integrables Riemann en [a, b]. La integral definida de una tal función entre a y b es:
n

b

∑ f (xk )(xk − xk−1 ).
n→∞

f (x) dx = A = l´m
ı
aM ATEMÁTICA A PLICADA Y E STADÍSTICA

k=1

OCW-ULL 2013

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B. G ONZÁLEZ , D. H ERNÁNDEZ , M. J IMÉNEZ , I. M ARRERO , A. S ANABRIA

Los números a y b se denominan límites de integración (inferior y superior, respectivamente).
Cabe notar que entre las funciones integrables en [a, b] se encuentran las funciones continuas en dicho
intervalo, aquellas que presentan a lo sumo unnúmero finito de discontinuidades de salto finito, etc.
Proposición 2.1.2. Sean f (x) y g(x) funciones integrables en el intervalo [a, b]. Se cumple:
b

b

[ f (x) + g(x)] dx =

i)
a

b

f (x) dx +

g(x) dx.

a
b

b

f (x) dx, cualquiera que sea k ∈ R.

k f (x) dx = k

ii)
a

a
a

b

f (x) dx = −

iii)

a

f (x) dx.

b

a
a

f (x) dx = 0.

iv)
a
b

cf (x) dx =

v)
a

b

f (x) dx (c ∈ [a, b]).

f (x) dx +
a

c

El siguiente resultado conecta el cálculo diferencial con el integral y constituye una herramienta fundamental para el cálculo de integrales definidas de funciones.
Teorema 2.1.3 (Regla de Barrow). Si F(x) es una primitiva continua de f (x) en [a, b], entonces
b
a

f (x) dx = [F(x)]x=b = F(b) − F(a).
x=a...