Dispersión

IV. MEDIDAS DE DISPERSIÓN
            La tendencia es sólo una propiedad de interés al resumir la distribución de una variable. No sólo queremos encontrar el valor típico de una variable, sino también queremos conocer qué tan típico es ese valor. Esto implica movernos a considerar la dispersión de la variable. 
            Las medidas de dispersión más importantes han sido desarrolladas paradatos numéricos—los estadísticos estrechamente relacionados: varianza y desviación estándar. Se han desarrollado otras medidas para la dispersión  con niveles más bajos de medición, usando la adaptación del concepto de variación. 
            Las medidas de dispersión aumentan de valor con una mayor variación en la variable. Todas son iguales a cero cuando no hay dispersión. La máxima variaciónpara variables métricas y ordinales se define cuando los casos están igualmente separados en dos categorías extremas—polarización. La máxima dispersión para variables nominales se define de dos maneras: cuando hay una distribución uniforme de casos entre las categorías, independientemente del número de ellas (uniformidad) o, cuando cada categoría ocurre solamente una vez (individualidad). En estecapítulo se darán ejemplos de estas definiciones. 
            Otra complejidad al tratar con medidas de dispersión es su calidad abstracta. No es intuitivamente claro, por ejemplo, qué significado dar a una dispersión de 10. Como resultado, es común normar los valores de dispersión. Un procedimiento para normar es dividir el valor de dispersión obtenido entre el máximo valor de dispersión posiblepara el estadístico, de tal suerte que un valor de 1 representa la máxima dispersión. Otro procedimiento para normar, usado en el coeficiente de variación y otros estadísticos, es dividir la dispersión entre el correspondiente valor de tendencia central; esto en ocasiones es descrito como la obtención de una medida absoluta de dispersión, porque las unidades de medición de la variable sonremovidas. Los procedimientos para normar se usarán varias veces un poco más adelante. 
            DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN BASADAS EN DESVIACIONES.
             La mayoría de las medidas de dispersión para datos métricos están basadas en desviaciones respecto al valor de la medida aritmética. Los datos métricos tienen una unidad de medición, por lo que una desviación muestrael número de unidades en que una observación difiere del valor de la media:
    
             Por ejemplo, si el número medio de condenas anteriores de un conjunto de acusados criminales es 4, entonces la desviación de un acusado con 20 condenas previas es 16 (=20-4) y la desviación para un acusado sin condenas previas es –4 (=0-4) . Una serie de medidas de dispersión han sido ideadas pararesumir el tamaño de estas desviaciones a través de promediarlas (promediar las desviaciones absolutas o las desviaciones al cuadrado). Cada una de estas posibilidades serán descritas a continuación. Las medidas de dispersión para datos métricos más importantes son los estadísticos estrechamente relacionados: varianza y desviación estándar, pero es útil discutir la desviación media primero. 
              La desviación media y sus variantes.
             Una medida simple de dispersión parecería ser la desviación promedio respecto a la media:

         Recuérdese, sin embargo, de la discusión de las propiedades de la media en el capítulo 3, que la suma de las desviaciones respecto a la media es siempre igual a cero; como resultado, el promedio de las desviaciones respecto a la media sería igual acero para cualquier variable. Por ejemplo, la tabla 4.1 muestra el número de condenas previas de 10 prisioneros: si 8 acusados tuvieron 0 condenas previas y 2 tuvieron 20 condenas, la media para el número de condenas previas es 4. La suma de las desviaciones es 8 (-4)+2 (16) = -32+32=0, por lo que el promedio de las desviaciones respecto a la media es cero (ver Tabla 4.1, columna 3)....