Dispo

Generación de números aleatorios

1.1. Introducción

Los números aleatorios son la base esencial de la simulación. Usualmente, toda la aleatoriedad involucrada en el modelo se obtiene a partir de un generador de números aleatorios que produce una sucesión de valores que supuestamente son realizaciones de una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas(i.i.d.) U(0; 1).

Posteriormente estos números aleatorios se transforman convenientemente para simular las diferentes distribuciones de probabilidad que se requieran en el modelo. En general, la validez de los métodos de transformación depende fuertemente de la hipótesis de que los valores de partida son realizaciones de variables aleatorias iid U(0; 1), pero esta suposición realmente no se cumple,puesto que los generadores de números aleatorios son simplemente programas determinísticos que intentan reproducir una sucesión de valores que parezca aleatoria.

Números Pseudoaleatorios

El método más conveniente y más fiable de generar números aleatorios es utilizar algoritmos determinísticos que posean alguna base matemática sólida. Estos algoritmos producen una sucesión de números que seasemeja a la de una sucesión de realizaciones de variables aleatorias iid U(0; 1), aunque realmente no lo sea. Es por ello que este tipo de números se denominan pseudo-aleatorios y el algoritmo que los produce se llama generador de números pseudo-aleatorios.

Definición 1.1. Un generador de números (pseudo)aleatorios es una estructura G =(X; x0; T; U; g), donde X es un conjunto finito deestados, x0 2 X es el estado inicial (semilla), la aplicación T: X -> X es la función de transición, U es el conjunto finito de posibles observaciones, y G: X -> U es la función de salida.



Básicamente, el funcionamiento de un generador de números pseudo-aleatorios es el siguiente. Se elige una semilla inicial cualquiera x0, y se genera una sucesión de valores Xn mediante una relación derecurrencia Xn = T(Xn-1). Cada uno de estos valores proporciona un número pseudo-aleatorio Un definido a través de alguna relación Un = g(Xn).
Claramente, la sucesión de estados es periódica, puesto que X es finito.
En algún momento, ocurrirá que xj = xi para alg_un j > i, y a partir de ese instante, xj+k = xi+k, y por lo tanto, uj+k = ui+k, para todo k >= 0. El periodo es el menor entero T > 0 tal quepara alg_un entero p > 0, se verifica que xp+k = xk, para todo k >= T.

Claramente, el periodo de un generador no puede exceder el cardinal del espacio de estados. Una buena propiedad para un generador es que su periodo esté cercano a |X|.

Un buen generador de números pseudo-aleatorios debería tener las siguientes propiedades:

Por encima de todo, la sucesión de valores que proporcionedebería asemejarse a una sucesión de realizaciones independientes de una variable aleatoria U(0; 1).

Los resultados deben ser reproducibles, en el sentido de que comenzando con las mismas condiciones iniciales debe ser capaz de reproducir la misma sucesión. Esto nos puede permitir depurar fallos del modelo o simula diferentes alternativas del modelo en las mismas condiciones obteniendo unacomparación más precisa. Los procedimientos físicos no permiten que los resultados sean reproducibles.

La sucesión de valores generados debe tener un ciclo no repetitivo tan largo como sea posible.

El generador debe ser rápido y ocupar poca memoria interna.

1.2. Métodos de generación de números Pseudoaleatorios.

1.2.1. Método de los cuadrados medios (Midsquare Method)


Este método se debe fuepropuesto en los años 40 por los matemáticos John von Neumann y Nicholas Metrópolis. El método comienza tomando un número al azar, x0, 4 Tema 1. Generación de números aleatorios de 2n cifras (originalmente los autores proponían 4 cifras) que al elevarlo al cuadrado resulta un número de hasta 4n cifras. Si es necesario se añaden ceros a la izquierda para que el número resultante tenga...