Distancia cuadrada

Distancia Cuadrada
Coordenadas rectangulares y gráficas
Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en
un plano y podrás representar gráficamente una ecuación lineal en dos variables. También, dados cualesquiera dos
puntos, podrás determinar la distancia entre ellos y el punto medio entre ellos.

En un curso elemental deálgebra aprendiste a representar los números reales como puntos en una
línea recta que llamamos recta numérica. Ese hecho nos permite apreciar mejor algunas
relaciones que existen entre distintos números reales. Por ejemplo, si un número real x es menor
que un número real y, sus puntos correspondientes están en la recta numérica de modo que el
punto de x está a la izquierda del punto de y.

...-3 -2

-1

0

1

2

x

3

y

Más aún, aprendiste que existe una correspondencia “uno a uno” entre los números reales y los
puntos de una recta. Por esa razón es a veces conveniente hablar del número y de su punto
correspondiente en la recta numérica como si fueran la misma cosa.
En esta lección aprenderás cómo describir algebraicamente puntos que se encuentran en un plano.Recuerda que un plano puede imaginarse como una pared que se extiende infinitamente a lo ancho y
a lo alto.
Para especificar un punto en un plano nos valdremos de un sistema de coordenadas rectangulares
formado al intersecar perpendicularmente por el origen de ambas a dos rectas numéricas en el
plano. A una de las rectas la representamos horizontalmente y la llamamos el eje de abscisas o
eje dex. A la otra recta la representamos verticalmente y la llamamos el eje de ordenadas o eje
de y.
y

(-3 , 2)

2

(1 , 2)
(2 , 1)

1
-3

-2

(-1 , -2)

-1

1
-2

x

2

(2 , -2)

Recomiendo la inserción de un applet que
presente un sistema de coordenadas fijo y un
“punto” movible por el usuario con el ratón
(o equivalente) de su computadora. Según se
mueve el puntose mostrará a su lado el par
ordenado que corresponde a la posición.

Asociaremos a un punto A en el plano, un par ordenado de números reales (x , y), de los cuales, el
primero, x , es el punto en el eje x intersecado por una recta vertical que pasa por el punto A; y

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas

el segundo de los números, y, es el punto en el eje y, intersecado poruna recta horizontal que pasa
por el punto A. Al par ordenado (x , y) lo llamamos las coordenadas de A y a cada uno de los
números en el par ordenado lo llamamos un componente o coordenada. Note que el orden en que
escribimos los componentes del par ordenado es muy importante. En el dibujo previo puedes
apreciar que las coordenadas (1 , 2) corresponden a un punto distinto del que corresponde alas
coordenadas (2 , 1).
Para cada par de números reales (x , y), existe solamente un punto en el plano que le corresponde
y, recíprocamente, para cada punto en el plano existe sólo un para ordenado (x , y) que le
corresponde. Por eso decimos que existe una correspondencia “uno a uno” entre los puntos del
plano y los pares ordenados de números reales.
El sistema de coordenadas rectangularesque estamos describiendo divide al plano en cuatro
regiones o cuadrantes. Al cuadrante que está arriba del eje x y a la derecha del eje y lo llamamos
el cuadrante uno (cuadrante I). Al cuadrante a la izquierda del cuadrante uno lo llamamos el
cuadrante dos (cuadrante II). Debajo del cuadrante dos está el cuadrante tres (cuadrante III).
A la derecha del cuadrante III está el cuadrante cuatro(cuadrante IV). Puedes verificar que
para todos los puntos del cuadrante I ambas coordenadas son positivas; para los puntos del
cuadrante II, la coordenada x es negativa y la y es positiva. En el cuadrante III ambas
coordenadas son negativas y en el cuadrante IV la coordenada x es positiva y la coordenada y es
negativa. El siguiente dibujo resume esas observaciones.
y
Cuadrante II
(– , +)...