Distancia de un punto a una recta

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Distancia entre un punto y una recta
Frecuentemente en geometría nos encontramos con el problema de calcular la distancia desde un
punto a una recta.
Distancia de un punto a una recta
La fórmula para calcular la mínima distancia medida desde el punto P( x1 , y1 ) hasta la recta
: A x + B y + C = 0, es:
| A x1 + B y1 + C |
√
DP =
A2 + B2

Definición
1Obviamente, suponemos que el punto en cuestión no está sobre la recta, porque en ese caso, la
distancia buscada es cero.
Observa que si el punto P( x1 , y1 ) está sobre la recta, entonces satisface su ecuación y como su
ecuación, tanto en forma general como en forma normal, están igualadas a cero, al sustituir las
coordenadas del punto en la ecuación de la recta en forma normal (quecorresponde a fórmula
para calcular la distancia de un punto a una recta) obtenemos cero:

√

A
A2

+

B2

x+ √

B
A2

+

B2

y+ √

C
A2

+ B2

=0

Calcula la distancia desde la recta 5 x − 12 y − 10 = 0 hasta el punto P(4, 3).

Ejemplo 1

• Sustituimos los datos conocidos en la fórmula:
D

=
=
=

| A x1 + B y1 + C |
√
A2 + B2
|5 (4) − 12 (3) − 10|
|20 − 36 − 10|√
= √
25 + 144
52 + 122
26
|26|
√
=
=2
13
169

• Entonces, desde la recta 5 x − 12 y − 10 = 0 hasta el punto P(4, 3) hay 2 unidades de distancia.

¿A qué distancia pasa la recta 3 x + 4 y + 15 = 0 del origen?

Ejemplo 2

• Este problema es equivalente a la siguiente solicitud:
Calcula la distancia desde la recta 3 x + 4 y + 15 = 0 hasta el punto P(0, 0).

Comentario

•Ahora que conocemos los datos, basta sustituir en la fórmula de distancia de un punto a

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una recta y realizar las operaciones que quedan indicadas:
D

| A x1 + B y1 + C |
√
A2 + B2
|3 (0) − 4 (0) + 15|
|0 − 0 + 15|
√
√
=
25
32 + 42
|15|
=3
5

=
=
=

• Entonces, la recta pasa a 3 unidades del origen.
•Para graficar la recta podemos transformarla a la forma simétrica:
3 x + 4 y + 15
3x+4y
4y
3x
+
−15 −15
y
x
+
−5 −15/4

= 0
= −15
−15
=
−15
= 1

• Ahora podemos graficar la recta y mostrar que la distancia al origen es de 3 unidades:
y
1

−5

−4

−3

−2

−1 0
−1

2

1

3

x
4

D

=

3

−6

−2
3x
+
−4

4y

+

15
=

0

−5

La fórmula paraencontrar la distancia de un punto a una recta tiene muchas aplicaciones, sobre
todo en problemas de lugar geométrico.
En la siguiente unidad vamos a encontrar el lugar geométrico del punto P( x, y) que se mueve
de tal manera que su distancia a una recta es igual a la distancia a otro punto F (h, k) que no se
encuentra sobre la recta.
Los problemas que podemos resolver con esta fórmula sonmuy diversos.
Ejemplo 3

Las rectas 1 : 3 x + 4 y − 20 = 0, y
que hay entre ellas.

2

: 3 x + 4 y + 20 = 0 son paralelas. Encuentra la distancia

• Nosotros no tenemos una fórmula para calcular la distancia entre dos rectas, pero podemos
transformar este problema en uno que sí podamos resolver.
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• Nosotros yasabemos cómo encontrar la distancia de un punto a una recta.
• Así que vamos a encontrar un punto que esté sobre cualquiera de las rectas y de ahí vamos
a calcular la distancia del punto a la otra recta.
• Podemos encontrar, por ejemplo, la intersección de la recta
3 (0) + 4 y − 20 = 0

⇒

1

con el eje y sustituyendo x = 0:
20
=5
4

y=

• Esto nos indica que la recta corta al eje y enel punto B(0, 5).
• Igualmente, podemos encontrar el punto de intersección con el eje x, por ejemplo, de la recta
2 y calcular su distancia a la recta 1 .
• En ambos casos obtendremos el mismo resultado porque la distancia de
que de la recta 2 a la recta 1 .
y
8
3x

6

+

4y

−

=
20

1

a

2

es la misma

0

B(0, 5)
4
2
3x

1

−8

−6

−4

−2

0

0...