DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Distancia de un punto a una recta
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En Geometría euclidiana, la distancia de un punto a una recta es la distancia más corta entre esepunto y un punto de una línea o recta.

Sean A un punto y D una recta.
Se define la distancia entre A y D como la distancia mínima entre A y un punto M de D.

Para recta definida por su ecuaciónreducida

Obsérvese que

Ejemplos

1. Determine la distancia del punto de coordenadas a la recta de ecuación asociada


Solución



Luego:



Finalmente:


2. Halle la distancia entre las rectasparalelas:



Solución


Por definición, esta distancia corresponde a la longitud del segmento perpendicular de un punto cualquiera de ellas a la otra recta. De esta forma, hallemos las coordenadas deun punto de y posteriormente calculemos la distancia de a .
Para en se obtiene , luego:

En consecuencia:

Distancia dirigida
Una distancia dirigida es una distancia que puede ser positiva onegativa. Por la convención, la distancia se toma generalmente para ser una cantidad positiva. En geometría analítica, una distancia dirigida puede ser utilizada. Esto es útil para medir la distancia de unpunto del origen.
Por la convención, una distancia dirigida positiva está al derecho, envértice, o hacia del espectador. Una distancia negativa está a la izquierda, abajo, o lejos del espectador. Unejemplo de la distancia dirigida es una recta numérica con números negativos.
Ejemplos:
1.- la distancia dirigida de la recta 2x+5y-10=0 al punto P es -3. Si la abcisa de P es 2, hallar suordenada.
SOLUCION:
La distancia D [no dirigida] de un punto P(xo, yo) a una recta ax + by + c = 0 viene dado por la fórmula
D = | axo + byo + c | / √(a² + b²)

Conocemos todos los datos, a excepción de "yo":D = | -3 | = 3
a = 2
xo = 2
b = 5
c = -10

Reemplazamos en la fórmula estos valores:
3 = | 2(2) + 5yo - 10 | / √(2² + 5²)
3 = | 4 + 5yo - 10 | / √(4 + 25)
3 = | 5yo - 6 | / √29
3√29 = | 5yo - 6 |...