distrib normal

CRAIGHOUSE CUARTO AÑO MEDIO HL
DEPTO MATEMÁTICA DISTRIBUCIÓN NORMAL

(1) Se llama variable aleatoria a toda ley ( función) que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real. Según como sean los recorridos de las variables,éstas se pueden clasificar en discretas y continuas:
(2) Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar unos ciertos valores enteros. Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar, al menos teóricamente, todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

Supongamos que hemos lanzado 240 veces un dado perfecto y hemosobtenido los siguientes resultados.
Cara
1
2
3
4
5
6
N°de veces
40
39
42
38
42
38

Construyamos la distribución de frecuencias, absolutas y relativas, de los resultados obtenidos y los resultados esperados a la vista del cálculo de probabilidades.

Resultados obtenidos Resultados esperadosDistribución de la frecuencia Distribución de probabilidad


Si nos fijamos en los resultados de la derecha observamos que a cada valor de la variable aleatoria le hacemos corresponder su probabilidad. A esa ley se le llama función de probabilidad, ley de probabilidad o distribución de probabilidad.

(3) Se llama función de probabilidad de unavariable aleatoria X a la aplicación que asocia a cada valor xi de la variable su probabilidad pi.
Esta función la podemos expresar fácilmente mediante la siguiente tabla

X
pi = p(X = x)
x1
p1
x2
.
.
.
xn
p2
.
.
.
pn
1

MUY IMPORTANTE: En toda función de probabilidad se verifica: p1 + p2 + ......+ pn = 1 ya que setrata del suceso o evento seguro

(4) Sea X una variable aleatoria discreta, cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) = p(X  x).
Nota:
(a) X es el símbolo que representa a la variable aleatoria, en este caso discreta
(b) X es un número real cualquiera
(c) P(X  x) se lee: “probabilidad de que la variablealeatoria X tome un valor menor o igual a x”

(5) Es decir, la función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor



Propiedades:
(a) Como F(x) es una probabilidad se verifica 0  F(x)  1
(b) F(x) es constante entre cada dos valores consecutivos de la variable. Por tanto, es una función escalonada
(c) F(x) = 0 para todo valor de xanterior al menor valor de la variable aleatoria
(d) F(x) = 1 para todo valor de x posterior al mayor valor de la variable aleatoria.
(e) F(x) es creciente.

MEDIA Y VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Consideremos el ejemplo del lanzamiento de un dado. Sustituyendo los valores de la frecuencia relativa por los de la probabilidad, obtendremos la media y la varianza de la distribución teórica.Distribución experimental Distribución teórica



(6) La media aritmética de la distribución experimental es:


(7) La media aritmética de la distribución teórica es:


(8) Se llama media de una variable aleatoria X, que toma los valores x1,x2,........., xn, con probabilidades p1, p2,........,pn respectivamente, al valor de la siguiente expresión:


Nota: a la media también se le llama esperanza matemática

(9) La varianza de la distribución experimental es:


(10) La varianza de la distribución teórica es:


(11) Se llama varianza...