Distribución Binomial

Introducción:
En este ensayo explicaremos algunas de las muchas distribuciones estadísticas, algunas de las cuales ya hemos tratado previamente(a lo largo del semestre). Para cada una de las distribuciones que describamos, daremos su media y su varianza, y algunas otras descripciones adicionales o medidas que pudieran agregar comprensión. También se indicara alguna aplicación típica de esasdistribuciones, e interrelaciones adicionales.

Objetivo del trabajo:

¿Para qué sirven las técnicas de Distribución de Probabilidad?
Estas distribuciones son usadas para modelar poblaciones. Nosotros usualmente trataremos con familias de distribuciones, en vez de con una simple distribución. Esas familias son indexadas por uno o más parámetros, lo cual nos permite variar ciertas característicasde la distribución. Por ejemplo, podemos especificar que la distribución Normal es una elección de un modelo razonable para una población particular, pero no podemos especificar precisamente la media; entonces trataremos con una familia paramétrica, la normal con media, donde este es un parámetro no especificado.

Distribución Binomial
La distribución Binomial es un caso particular deprobabilidad de variable aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante. Esta distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:
* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, llamado éxito, o su contrario A’, llamado fracaso.
* Al repetir el experimento, el resultado obtenido esindependiente de los resultados obtenidos anteriormente.
* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba del experimento a otra. Si llamamos p a la probabilidad de A, p(A) = P, entonces p(A’)= 1 – p = q* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.
Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial odistribución de Bernoulli .En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:

Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso sean construido tablas para algunos valores de n y  p que nos facilitan el trabajo(Ver las tablas de la función de probabilidad Binomial)

Distribucion Hipergeométrica
La distribución hipergeométrica tiene muchas aplicaciones en muestreo de poblaciones finitas. Es mejor para su comprensión pensarla en el ejemplo clásico de un modelo de urna. Supongamos tenemos una urna con N bolillas iguales, salvo por el color, es decir, hay M rojas y N-M verdes. K de tales bolillas sonseleccionadas aleatoriamente (se toman una a una de la urna, sin regresarla a la misma; se trata de un caso de muestreo sin reemplazo).
¿Cuál es la probabilidad que exactamente x de las bolillas sean rojas?.
El número total de muestras de medida K que pueden ser seleccionadas de un total de N es (NK). Se requiere que x de tales bolillas sean rojas, lo cual puede ser realizado de (Mx) formas, dejando(M-N K-x) caminos para elegir las K-x restantes que no son rojas. Así, denotaremos por X la va. Que mide el número rojas en la muestra de tamaño K, entonces X tiene distribución hipergeométrica dada por

Note que hay implicita en (3.2), un supuesto adicional sobre el rango de X. Los coeficientes binomiales de la forma (nr), han sido definidos solamente si n≥r, y si el rango de x estaadicionalmente restringido por el siguiente par de inecuaciones

M≥x y N-M≥K-x
Las cuales pueden ser combinadas como
M-(N-K)≤x≤M
En muchos casos K es pequeño comparado con N y M, así el rango 0≤ x ≤ K estará contenido en el rango ultimo anterior dado para x, y por lo tanto sería apropiado. La fórmula para la función de probabilidad hipergeométrica es dif¶³cil de tratar. En efecto no es trivial...