Distribución de probabilidad bivariadas

5.1 Distribuciones de probabilidad bivariadas.
5.1.1 Función de probabilidad bivariada.
Ejemplo 1. Una pequeña empresa ha implementado un nuevo programa de capacitación, con el objetivo de incrementar la productividad de sus trabajadores. Para decidir si ese nuevo programa es mejor que el programa tradicional, se toma una muestra de ocho trabajadores de los cuales cuatro son capacitados conel nuevo programa y cuatro con el programa de capacitación tradicional. Se sabe que la probabilidad de que un trabajador incremente su productividad cuándo es capacitado con el programa tradicional es de 0.6 y se espera que la probabilidad de que un trabajador, capacitado con el nuevo programa, incremente su productividad sea de 0.8.
Con base en esta información se puede definir dos variablesaleatorias:
: número de trabajadores capacitados con el programa tradicional que incrementan su productividad.
: número de trabajadores capacitados con el programa nuevo que incrementan su productividad.
Observe que los posibles resultados para cada variable son: . Es decir, cada variable tiene 5 posibles resultados. Por lo tanto, el espacio muestral (S) para estas dos variables es la combinacióndel número de trabajadores que incrementan su productividad con cada programa. De esta forma, S constará de 25 puntos, debido a que las dos variables, y , conjuntamente tomarán alguno de los siguientes valores:
(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (0,4)
(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4)
(2,0), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4)
(3,0), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)
(4,0), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)
El primervalor corresponde a y el segundo a . Este espacio muestral puede representarse de manera gráfica como:

Cada uno de los puntos en la gráfica anterior representa los posible valores que pueden tomar, de manera conjunta las variables y , es decir, cada punto representa un evento posible, por lo que estas variables están definidas en el mismo espacio muestral. Por ejemplo, el punto (0,1) representael evento: ningún trabajador incremento su productividad con el programa tradicional y solamente un trabajador incremento su productividad con el programa nuevo; el punto (3,2) representa el evento: tres trabajadores incrementaron su productividad con el programa tradicional y 2 trabajadores incrementaron su productividad con el programa nuevo. En general, el punto representa el eventotrabajadores incrementaron su productividad con el programa de capacitación tradicional y trabajadores incrementaron su productividad con el programa de capacitación nuevo.
Note que cada una de las variables y tiene una función de probabilidad binomial:

Sin embargo, lo que nos interesa es determinar la función de probabilidad conjunta (o función de masa de probabilidad conjunta, o función dedensidad discreta conjunta) para cada uno de los puntos del espacio muestral, esto es , la cual, como se verá en secciones posteriores, debido a la independencia de las variables es:

Por ejemplo, para los eventos (2,3) y (3,1) tenemos:


De esta forma, podemos determinar la probabilidad conjunta de cada uno de los puntos del espacio muestral y representarlos en una tabla:

En la tabla anteriorse puede observar que no existen probabilidades negativas y que la suma de todas las probabilidades es igual a 1.
La forma de interpretar los resultados del cuadro es la siguiente:
La probabilidad de que exactamente dos trabajadores capacitados con el programa tradicional y de que exactamente tres trabajadores capacitados con el nuevo programa incrementen su productividad (es decir, laprobabilidad del evento conjunto ) es 0.14156. De la misma forma se puede interpretar cada una de las probabilidades obtenidas.
Definición 1. Sean y variables aleatorias discretas. La función de probabilidad conjunta para y está dada por:

En la unidad 3 se vio que la función de probabilidad para una variable aleatoria discreta , asigna probabilidades no negativas a un número finito o contable...