Distribución Hipergeométrica

Distribución hipergeométrica
Distribución hipergeométrica |
Función de distribución de probabilidad |
Parámetros | |
Dominio | |
Función de probabilidad (fp) | |
Función de distribución (cdf) | |
Media | |
Mediana | |
Moda | |
Varianza | |
Coeficiente de simetría | |
Curtosis | |
Entropía | |
Función generadora de momentos (mgf) | |
Función característica| |
En teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x () elementos de la categoría A en una muestra de n elementos de lapoblación original.
[editar] Propiedades
La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual a

donde N es el tamaño de población, n es el tamaño de la muestra extraída, d es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y x es el número de elementos en lamuestra que pertenecen a dicha categoría. La notación hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar b elementos de un total a.
El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución hipergeométrica es

y su varianza,

En la fórmula anterior, definiendo

y

se obtiene

La distribución hipergeométrica es aplicable amuestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.
3) DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA.
 
Los experimentos que tienen este tipo de distribucióntienen las siguientes características:
a)      Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.
b)      Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.
c)      Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.
d)      El número de repeticiones del experimento (n) es constante.
 
 Ejemplo:
En una urna o recipiente hay un total de N objetos, entre los cuales hay una cantidad a de objetos que son defectuosos, si se seleccionan de esta urna n objetos al azar, y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener x objetos defectuosos?
Solución:
 
Luego;
 
 

 
donde:
p(x,n) = probabilidad de obtener x objetos defectuosos deentre n seleccionados
 
muestras de n objetos en donde hay x que son defectuosos y n-x buenos
 
todas las muestras posibles de seleccionar de n objetos tomadas de entre N objetos en total = espacio muestral
 
 
Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 seandefectuosos?
 
Solución:
 
N = 10 objetos en total
a = 3 objetos defectuosos
n = 4 objetos seleccionados en muestra
x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra

 
 

 
 
donde:
 
probabilidad asociada a cada muestra de 4 objetos que se seleccionaron, con lo que se demuestra que las probabilidades no son constantes
 formas o maneras de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados = muestras de 4 objetos entre los que 2 son defectuosos
 
 
Como se observa en el desarrollo de la solución del problema, la pretensión es demostrar que las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.
 
Luego la probabilidad de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4...