Distribuci n binomial

Distribución binomial
 
Una distribución binomial o de Bernoulli tiene las siguientes características:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: éxito y fracaso.
2. La probabilidad de éxito es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.
3. La probabilidad de fracaso también es constante, Se representa por q,
q = 1 – p
4.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
5. La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en la n pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3, 4,..., n.
La distribución binomial se expresa por B(n, p)

Cálculo de probabilidades en una distribución binomial


n es el número de pruebas.
k es el número deéxitos.
p es la probabilidad de éxito.
q es la probabilidad de fracaso.
El número combinatorio
 

Ejemplo
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leído la novela 2?
n = 4
p = 0.8
q = 0.2
B (4, 0.8)


2. ¿Y cómo máximo 2?Parámetros de la distribución binomial
Media

Varianza


Desviación típica

Ejemplo
La probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea defectuoso es 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.




Distribución normal
 
Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribuciónnormal demedia μ y desviación típica σ, y se designa por N (μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones:
1) La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)
2) La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss:




Curva de la distribución normal





El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).
Es simétrica respecto a lamedia µ.
Tiene un máximo en la media µ.
Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.
En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.
El eje de abscisas es una asíntota de la curva.
El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a laderecha.
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
p (μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %
p (μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %
p (μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %

Ejemplo
Una empresa instala en una ciudad 20.000 bombillas para su iluminación. La duración de una bombilla sigue una distribución normal con medios 302 días y desviación típica 40 días. Calcular. a) ¿Cuántasbombillas es de esperar que se fundan antes de 365 días? ¿Cuántas durarán más de 400 días? Explica razonadamente las respuestas.
a) Tipificamos el valor 365  Þ  t = (365 -302)/40 = 1,575 
P (X ≤ 365) = P (t ≤1,575) = 0,9418
Luego el 94,18% de las lámparas, es decir 20.000 ∙ 0.9418 = 18.836 bombillas se fundirán antes de  365 días
b) Tipificamos el valor 400  Þ  t = (400-302)/40 = 2,45
P (X > 400)= P (t >2,45) = 1- P (t ≤2,45) = 1 - 0,9929 = 0,0071
Entonces el 0,71% de las lámparas, es decir 20.000 ∙ 0.0071 = 142 bombillas durarán más de 400 días



DISTRIBUCIÓN  DE  POISSON.
 
Características:
En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc., etc.,
# de defectos de una tela por m2
# de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día,hora, minuto, etc., etc.
# de bacterias por cm2 de cultivo
# de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc., etc.
# de llegadas de embarcaciones a  un puerto por día, mes, etc., etc.
Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:
 
                                                            
Donde:...