Distribucion de Pearson

Índice









Introducción




A continuación podremos estudiar acerca de los temas de las distribuciones de Pearson y la denominada caja de bigotes (boxplots o box and whiskers).
Se dice que la distribución de Pearson en una familia de distribuciones probabilísticas continuas. Fue publicada por primera vez por Karl Pearson en 1895 y subsecuentemente extendida por él en 1901 y1916 en una serie de artículos de bioestadística, y nos ayuda a realizar muchas tareas mas fácilmente.
Los diagramas de Caja-Bigotes (boxplots o box and whiskers) son una presentación visual que describe varias características importantes, al mismo tiempo, tales como la dispersión y simetría.
Para su realización se representan los tres cuartiles y los valores mínimo y máximo de los datos,sobre un rectángulo, alineado horizontal o verticalmente.
Una gráfica de este tipo consiste en una caja rectangular, donde los lados más largos muestran el recorrido intercuartílico. Este rectángulo está dividido por un segmento vertical que indica donde se posiciona la mediana y por lo tanto su relación con los cuartiles primero y tercero (recordemos que el segundo cuartil coincide con lamediana).







Distribuciones de Pearson


Diagrama del Sistema de Pearson, mostrando distribuciones de los tipos I, III, VI, V, y IV en términos de β1 (asimetría cuadrada) y β2 (curtosis tradicional)


La distribución de Pearson en una familia de distribuciones probabilísticas continuas. Fue publicada por primera vez por Karl Pearson en 1895 y subsecuentemente extendida por él en 1901 y1916 en una serie de artículos de bioestadística.

l sistema Pearson fue originalmente ideado en un esfuerzo para modelar observaciones visiblemente asimétricas. Era bien conocido en aquel tiempo cómo ajustar un modelo teórico para acomodar los primeros dos cumulantes o los momentos de observados datos: Cualquier distribución de probabilidad puede estar extendida directamente para formar unafamilia de escala de posición. Excepto en los casos patológicos, una familia de escala de posición puede estar hecha para acomodar la media (primer cumulante) y la varianza (segundo cumulante) arbitrariamente bien. Sin embargo, no era conocido cómo construir distribuciones de probabilidad en las cuales la asimetría (tercer cumulante estándar) y la curtosis (cuarto cumulante estándar) pudieron estarajustados igualmente. Esta necesidad surgió al intentar acomodar modelos teóricos conocidos a datos observados que exhibieron asimetría. Los ejemplos de Pearson incluyen datos de supervivencia, cuáles son usualmente asimétricos. En su escrito original, Pearson (1895, p. 360) identificó cuatro tipos de distribuciones (numeradas del I al IV) además de la distribución normal (la cual eraoriginalmente conocida como tipo V). La clasificación dependió en si las distribuciones estaban definidas en un intervalo definido, en una semirrecta, o en los reales y si estaban potencialmente asimétricas o necesariamente simétricas. Un segundo escrito (Pearson 1901) arregló dos omisiones: Redefinió la distribución de tipo V (originalmente incluía la distribución normal, ahora incorporaba la distribucióngamma inversa) e introdujo la distribución de tipo VI. Conjuntamente los primeros dos documentos de identificación cubren los cinco tipos principales del sistema Pearson (I, III, VI, V y IV). En un tercer escrito, Pearson (1916) introdujo aún más casos especiales y subtipos (del VII al XII).


Definición
Una función de densidad de Pearson, p, está definida para ser una solución válida a unaecuación diferencial (cf. Pearson 1895, p. 381)

Con:



Según Ord, Pearson ideó la forma subyacente de la ecuación (1), con base, primeramente, en la fórmula para la derivada del logaritmo de la función de densidad de la distribución normal (la cual da una función lineal) y, en segundo lugar , de una relación de recurrencia para los valores en la función de probabilidad de la masa de la...