Distribucion De Probabilidad

CENTRO UNIVERSITARIO DE LA CIENEGA DE OCOTLAN

DISTRIBUCION BINOMIAL
Existe muchos problemas aplicados en que nos interesa la probabilidad de que un evento ocurra por veces de n. Por ejemplo, podemos estar interesados en la probabilidad de obtener 75 respuestas a 200 cuestionarios enviados por correo como parte de un estudio sociologico, la probabilidad de que se recapturen 12 de 50 pavossilvestre marcados y la probabilidad de que 45 a 300 conductores detenidos en una congetion lleven, puestos los cinturones de seguridad, o la probabilidad de que 66 de 200 teleespectadores (entrevistados por una organizacion de investigacion del mercado) recuerden que productos se anunciaran en un programa dado. Tomando prestados terminos del lenguaje de los juegos de azar, puedieramos decir que encada uno de estos ejemplos nos interesa la probabilidad de obtener
¨x aciertos en n intentos¨o bien, en otras palabras¨x aciertos y n – x fracasos en n intentos¨.

En los problemas que se etudian en esta seccion, siempre se haran las siguientes suposiciones:
1. Existe un numero fijo de intentos o ensayos.
2. la probabilidad de un acierto es la misma en cada intento.
3. Todos losintentos o ensayos son indenpendientes.

Esto quiere decir que la teoria que se desarrollara no se aplicara; por ejemplo, si nos interesa el numero de vestidos que se puede probar una mujer antes de comprar uno (donde el numero de prueba no es fijo), o si nos interesa el numero de veces que una persona voto por el candidato republicano en ultimas cinco eleccciones presidenciales (donde los ensayosno son independientes). Si C denota una respuesta correcta e I una respuesta incorrecta, una forma en la que el estudiante puede tener seis respuestas correctas y dos incorrecta esta dada por la serie de letras.

CCCCCCII

Aqui, las primeras seir preguntas se responden en forma correcta y las dos ultimas, en forma incorrecta. Como P(C)= 1/5 y P(I)= 4/5, y todos los intendos son independientes,la probabilidad de es secuencia particular de respuestas correctas e incorrectas es:

(1/5)(1/5)(1/5)(1/5)(1/5)(1/5)(4/5)(4/5)= (1/5)6 (4/5)2

Sin embargo existe otras secuencias de seis C y dos I (Por ejemplo CCIICCCC, ICICCCCC y CCICCCIC) y con el mismo argumento que antes, cada una tiene la probabilidad (1/5)6 (4/5)2.

Para obtener la probabilidad de seis C y dos I en un ordencualquiera, se debe contar el numero de manera de acomodar seis C y dos I
(6/8)(1/5)6(4/5)2= 0.000115
redondeamos a cinco decimales.

Esto sugiere que, en terminos generales, si n es el numero de intentos o ensayos, p es la probabilidad de un acierto en cada ensayo y todos los ensayos son independientes, entonces la probabilidad de lograr x aciertos en n ensayos es :

f(x)= (n/x)px(1-p)n- xpara x= o,1,2,...,o n

Se acostumbra decir aqui que el m¡numero de aciertos en n ensayos es una variedad aleatoria que tiene la distribucion de probabilidad binomial o simplemente la distribucion binomial resibe este nombre en virtud de que para x= 0,1,2... y n, los valores de las probabilidades son los terminos sucesivos de la expansion binomial de ((1-p) + p)n.

Ejemplo:
Si la probabilidad es0.70 de que un estudiante con muy altas calificaciones entre a una escuela de leyes, ¿cual es la probabilidad de que tres de cinco estudiantes con muy alta calificaciones entraran a la escuela de leyes?

Solucion: Al sustituir x= 3, n = 5, p = 0.70 y (5/3) = 10 en la formula de la distribucion binomial, se obtine

f(3) = (5/3) (0.70)3(1- 0.70)5 – 3
= 10(0.70)3(0.30)2
= 0.3087
oaproximadamente 0.31

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

Una fabrica sin embarca ciertas grabadoras de cinta de lotes de 16 y cuando llegan a su destino, se selecciona tres al azar de cada lote para realizar una inpeccion, Ahora supongase que cuatro de las gragadoras seleccionadas, dos estaran en buen estado y una estara defectuosa. En otras palabras, nos interesa la probabilidad de lograr ¨un acierto...