Distribucion de probabilidades

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Néstor Raúl Mantilla 2051512 María Alejandra Hakspiel 2062551 Jessie Andrés Polo 2063601 Lady Rendón Hormiga 2073123
Universidad Industrial de Santander 22/09/2009

MARCO TEORICO 1. Distribución de Probabilidad conjunta 2. Distribución t-student 3. Distribución chi-cuadrado 4. Distribución Fisher 5. Distribución Exponencial 6. Distribución Erlang 7.Distribución Uniforme 8. Distribución Gamma 9. Distribución Beta 10. Teorema del Límite central

1. Distribución de Probabilidad Conjunta. Definición Sean X e Y dos variables aleatorias discretas. La función de probabilidad conjunta representa la probabilidad de que simultáneamente X tome el valor x e Y tome el valor y, como función de x e y. Se usa la notación PX,Y(x, y), de donde:

PropiedadesPX,Y(x, y) ≥ 0, para cualquier par de valores x e y. La suma de las probabilidades conjuntas PX,Y(x, y) sobre todos los posibles pares de valores debe ser 1.

Gráfica

Objetivo y Aplicaciones La distribución de probabilidad conjunta se emplea cuando se deben comparar una serie de datos de variables distintas pero que guarden una relación entre sí. Es decir, bien podría ser útil en la industriamecánica cuando se compara la tensión que resiste un material debido a un esfuerzo aplicado y la temperatura a la que se sometió para obtener determinada elongación (bajo la misma tensión), entonces la grafica de la distribución quedara definida por el conjunto de parejas X(tensión), y Y(elongación).

Ejercicio El dueño de un restaurante de comida rápida está interesado en estudiar ladistribución de probabilidad de los tiempos de espera y servicio por cliente a fin de reducir el tiempo total que permanece cada cliente en su restaurante. Por registros anteriores sabe que el tiempo promedio de espera por cada cliente es de cada 5 minutos y el tiempo promedio por servicio es de 30 minutos. Si se supone que estos tiempos son independientes y se distribuyen exponencialmente, ¿cuál será laprobabilidad de que el tiempo total que un cliente gasta en dicho restaurante sea de por lo menos 25 minutos?

Sea × la variable aleatoria definida como “el tiempo en minutos que el cliente tarde en servirse” tal que ×→ = 30 y sea Y la variable aleatoria definida como “el tiempo en minutos que espera un cliente para ser servido” tal que → = 5. Según esto
=
1 30 30
1

×> 0, =

1 55

1

> 0

serán

las

distribuciones marginales de X e Y respectivamente. Por otro lado si estas son independientes entonces la función de densidad de probabilidad conjunta de X e Y será:
1 −30 −5 , = 150
1 1

> 0, > 0

Sea Z la variable aleatoria definida como “el tiempo total que un cliente permanece en el restaurante desde que llega hasta que se retira, después de haberseservido” según esto podemos decir que = + , nos preguntan P(X+Y> 25). Encontramos entonces que valiéndonos de la distribución bidimensional f:
∞

( + > 25 = > 25 − =
0

1 −30 −5 150 25−
∞

1

1

Puesto que Z=X+Y es una función de dos variables aleatorias. Sea W=X y Z=X+Y. Despejando X e Y en función de W y Z tenemos, X=W, Y=Z-W, encontrando el Jacobiano:
, =
1

1 0 =1 −11

Por otro lado , = , − =

1 6 5 150

1 −

luego , =

1 6 5 150

1

1 −

> 0, > 0

Entonces W> 0, − > 0 por lo que 0< < Y la función de densidad de Z es:

=
0

1 6−5 1 −30 1 −5 = − 150 25 25

1

1

1

1

Siendo la pregunta,
+ > 25 = (Z> 25) =
∞ 1 30 25 25
− 1

−

1 5 25

1 −

= 0.52017 entonces el 52, 02% de

las veces, losclientes que visitan dicho restaurante tendrán una estadía superior a los 25 minutos.

Bibliografía http://www.ucm.es/info/genetica/Estadistica/estadistica_basica.htm#Distribución %20conjunta%20de%20dos%20variables http://unbarquero.blogspot.com/2008/05/variables-aleatorias-discretas-y.html

2. Distribución t-Student

Definición Es una distribución de probabilidad que surge del problema...