Distribucion de variables aleatorias

Apunte preparado por el profesor Sr. Rosamel Sáez Espinoza con fines de docencia

Variables Aleatorias: En la mayoría de los estudios estadísticos nuestro interés se centrará en observar una característica cuyos valores observados son cuantitativos, por ejemplo en un proceso productivo nuestro interés puede ser observar el número de piezas con defectos, en un estudio vial nuestro interés puedeser la velocidad con que circulan los vehículos o tal vez el consumo de combustible, en un estudio relacionado con el gasto familiar nuestro interés puede ser el consumo de electricidad y/o el consumo del agua, etc. Cualquiera sea el caso, los valores observados se asocian a situaciones que implican un elemento del azar y de aquí nuestro interés en estudiar las variables aleatorias. Definición:Una variable aleatoria (v.a) X es una función real valuada de los elementos de un espacio muestral Ω . El conjunto de las imágenes de la variable aleatoria se llama recorrido y contiene todos los valores posibles de la variable y lo denotaremos por RX. Notación: Las variables aleatorias se denotan con letras mayúsculas tales como X, Y, Z, X1,X2,… y los valores particulares de la variable aleatoriase denotan por letras minúsculas tales como x, y, z, x1, x2, …. . Ejemplo: Suponga que 3 de 20 sacos de cemento almacenados en una bodega no cumplen las especificaciones de peso rotulada y suponga que seleccionamos aleatoriamente 4 sacos para su inspección. Si nos interesamos en contar el número de sacos que no cumplen las especificaciones de peso rotulada en la muestra de tamaño 4, entonces elrecorrido de la variable será: {0, 1, 2, 3} Ahora si nuestro interés es contar el número de sacos que cumplen las especificaciones de peso rotulada en la muestra de tamaño 4, el recorrido será: {1, 2, 3, 4} Observe que la relación entre ambas variables es la siguiente:

No cumple 0 1 2 3

Cumple 4 3 2 1

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Apunte preparado por el profesor Sr. Rosamel Sáez Espinoza con fines de docenciaSegún los valores del recorrido, las variables aleatorias se clasifican en discretas o continuas.
Definición: Una variable aleatoria se dice continua si su recorrido es un subconjunto de la recta real. Por ejemplo

i) ii)

RX = { x ∈ ℝ / 2 < X < 4} RX= { x ∈ ℝ / 2 ≤ X ≤ 4}

Definición: Una variable aleatoria se dice discreta si su recorrido es un conjunto finito o infinito numerable (que sepuede contar). También podemos decir que es discreta si entre dos valores cualesquiera de su recorrido o no existen valores o existe un número finito de ellos.

De acuerdo a los valores del recorrido, la variable aleatoria número de sacos que no cumplen con las especificaciones de peso rotulado y la variable aleatoria número de sacos que cumplen con las especificaciones de peso rotulado sonambas variables aleatorias discretas. Toda variable aleatoria tiene asociada otra función, llamada función de distribución o función de probabilidad que corresponde a un modelo probabilístico del comportamiento de la variable aleatoria, la cual es usada para evaluar probabilidades acerca de X.
Definición: Sea X v.a discreta, definimos y denotamos la función de probabilidad de la v.a. X mediante:f(x) = P(X = x)

∀ x ∈ RX

la cual debe satisfacer las siguientes condiciones: i) f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ RX ii)
x∈R X

∑ f ( x) = 1

La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta recibe el nombre de función de cuantía. En nuestro ejemplo anterior definamos X v.a número de sacos que no cumplen las especificaciones de peso rotulada en la muestra de tamaño 4, luego su recorrido es RX = {0, 1, 2, 3} Determinar la función de probabilidad de la v.a X. Solución: Observemos que el experimento en este caso es la selección de 4 sacos desde una bodega que contiene 20. Además sabemos que 3 de ellos no cumplen las especificaciones de peso rotulado

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Observe además que el número de elementos...