Distribucion exponencial

exponencial
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Función de densidad de probabilidad

Función de distribución de probabilidad

PARÁMETROS |
λ>0 |
Dominio | 0 , ∞ |
Función de densidad | λe-λx |
Función de distribución | 1-e-λx |
Media | 1/λ |
Mediana | ln2λ |
Moda | 0 |
Varianza | 1λ2 |
Coeficiente de simetría | 2 |
Curtosis | 6 |
Entropía | 1-lnλ |
Función generadora demomentos | 1-tλ-1 |
Función característica | 1-itλ-1 |

En estadística la distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua con un parámetro λ > 0 cuya función de densidad es:

fx= λe-λx para x≥0 0 otro modo

Su función de distribución es:

Fx=PX≤x= 0 para x<0 1-e-λx para x≥0Donde e representa el número e.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución exponencial son:

* EX=1λ

* VX=1λ2

La distribución exponencial se utiliza como modelo para representar tiempo de funcionamiento o de espera, expresa también el tiempo que transcurre entre sucesos que se contabilizan mediante la distribución de Poisson. Por ejemplo, tiempo deespera en la parada de autobús, tiempo transcurrido entre dos llamadas telefónicas, número de vehículos que llegan a un semáforo…
A pesar de la sencillez analítica de sus funciones de definición, la distribución exponencial tiene una gran utilidad práctica ya que podemos considerarla como un modelo adecuado para la distribución de probabilidad del tiempo de espera entre dos hechos que sigan unproceso de Poisson. De hecho la distribución exponencial puede derivarse de un proceso experimental de Poisson con las mismas características que las que enunciábamos al estudiar la distribución de Poisson, pero tomando como variable aleatoria, en este caso, el tiempo que tarda en producirse un hecho.

Al ser un modelo adecuado para estas situaciones tiene una gran utilidad en los siguientes casos:* Distribución del tiempo de espera entre sucesos de un proceso de Poisson.
* Distribución del tiempo que transcurre hasta que se produce un fallo, si se cumple la condición que la probabilidad de producirse un fallo en un instante no depende del tiempo transcurrido. Aplicaciones en fiabilidad y teoría de la supervivencia.

FUNCIÓN DE DENSIDAD.
A pesar de lo dicho sobre que ladistribución exponencial puede derivarse de un proceso de Poisson, vamos a definirla a partir de la especificación de su función de densidad:

Dada una variable aleatoria X que tome valores reales no negativos (x > 0) diremos que tiene una distribución exponencial de parámetro l, si y sólo si su función de densidad tiene la expresión: fx=λ∙e-λx Diremos entonces que x→Expλ. Gráficamente como ejemploplanteamos el modelo con parámetro λ=0,05. En consecuencia, la función de distribución será:

Fx=0xλ∙e-λxdx=-e-λx0x=1-e-λx

En la principal aplicación de esta distribución, que es la Teoría de la Fiabilidad, resulta más interesante que la función de distribución la llamada Función de Supervivencia o Función de Fiabilidad. La función de Supervivencia se define cómo la probabilidad de que lavariable aleatoria tome valores superiores al valor dado X:

Sx=Px>X=1-Fx=1-1-e-λx=e-λx

Si el significado de la variable aleatoria es "el tiempo que transcurre hasta que se produce el fallo": la función de distribución será la probabilidad de que el fallo ocurra antes o en el instante X: y , en consecuencia la función de supervivencia será la probabilidad de que el fallo ocurra después detranscurrido el tiempo X ; por lo tanto, será la probabilidad de que el elemento, la pieza o el ser considerado "Sobreviva" al tiempo X ; de ahí el nombre. Gráficamente, la función de distribución para un modelo exponencial se expresa continuamente. En la que se observa lo que sería la diferencia entre función de distribución y la de supervivencia

TASA INSTANTÁNEA DE FALLO.

Dentro del marco de...