Distribucion geometrica

Distribución geométrica
La distribución geométrica es un modelo adecuado para aquellos procesos en los que se repiten pruebas hasta la consecución del éxito a resultado deseado y tiene interesantes aplicaciones en los muestreos realizados de esta manera . También implica la existencia de una dicotomía de posibles resultados y la independencia de las pruebas entre sí.
Esta distribución se puedehacer derivar de un proceso experimental puro o de Bernouilli en el que tengamos las siguientes características
· El proceso consta de un número no definido de pruebas o experimentos separados o separables. El proceso concluirá cuando se obtenga por primera vez el resultado deseado (éxito).
· Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente excluyentes : A y no A
· La probabilidad de obtener unresultado A en cada prueba es p y la de obtener un resultado no A es q 
siendo (p + q = 1).
Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas ,por tanto , las pruebas ,son independientes (si se trata de un proceso de "extracción" éste se llevará a , cabo con devolución del individuo extraído) .
· (Derivación de la distribución). Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que tomemoscomo variable aleatoria X = el número de pruebas necesarias para obtener por primera vez un éxito o resultado A , esta variable se distribuirá con una distribución geométrica de parámetro p.
                                                                                           
Ejemplos:
1. Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05,¿cuál es la probabilidad de que;  a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el primero que no muestre una desviación excesiva?.
 
Solución:
a)      x = 6 que el sexto dispositivo de medición probado sea el primero que muestre una variación excesiva
P(X =3) = ()3-1 () = ()2 ()p = 0.05 =probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva
q = 0.95 =probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva
 
p(x = 6) =
 
b)      x = 5 que el quinto dispositivo de medición probado, sea el primero que no muestre una desviación excesiva
p = 0.95 = probabilidad de que un dispositivo de medición no muestreuna variación excesiva
q = 0.05 = probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva
 
p(x = 5) =  
 
Ejemplo 5. 11. Se lanza un dado hasta que aparece el número 6. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de lanzamientos sean 3?
 
Solución.
 
En este problema el éxito es la aparición del número 6 y la probabilidad de que salga el número 6 al lanzar un dado es 1/6, porlo que p = 1/6 y q = 5/6. Como nos interesa calcular la probabilidad de que el 6 aparezca en el tercer lanzamiento, entonces:
 
= 0.1157
 
Esta distribución sirve para calcular  la probabilidad de que ocurra un  éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento.
Función de densidad:
Sea A un suceso de probabilidad P(A)=p, y sea X la variable aleatoria que expresa elnumero de fracasos que tiene lugar en las repeticiones independientes de pruebas de Benouili, hasta que ocurre A por primera vez. La variable X toma los valores de 0,1,2,….(numero de fracasos). Decimos que una variable aleatoria X sigue una distribución geométrica de parámetros p si su función de probabilidad es


dónde :
P= probabilidad de éxito en cada ensayo
x= ensayos que sean necesarios paraobtener un éxito, para x = 1, 2, 3,..

Lo anterior solo se cumple si y solo si:
º Las pruebas son  idénticas e independientes entre sí.
º La probabilidad de éxito es p y se mantiene constante de prueba en prueba
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:
la distribución de probabilidad del...