Distribucion Lognormal

| 2012 |
| Universidad Tecnológica de Torreón
Claudia Anali Lombera Meléndez.
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[Consulta 3Ra unidad] |
La consulta consiste en dar una introducción y ejemplos de las distribuciones Lognormal, Gamma y Weibull. |

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Distribución Lognormal

La distribución log-normal, propuesta por Galton en 1879, es la exponencial de una variablenormal.
• Muchas variables no se distribuyen de manera gaussiana, sin embargo, aplicando alguna transformación es posible convertir los datos a una forma que esté distribuida de esa manera.

• Es lo que se conoce en estadística como una distribución de colas anchas, es decir, su densidad refleja una característica que también corrobora la varianza de esta distribución, hay probabilidad alta deque la variable tome valores alejados de la media.

• La transformación logarítmica se aplica en muchos casos, en especial cuando el rango de las observaciones abarca varios órdenes de magnitud.

• Una variable aleatoria X cuyos logaritmos Y = ln(X) están distribuidos de manera normal, se dice que sigue una distribución lognormal cuya PDF es:

• La relación entre estos parámetros y los de lavariable original X es:

• En este caso la variable sigue una distribución Gaussiana estándar.

La variable aleatoria X puede tomar valores que aumentan sin límites pero no puede tomar valores negativos.
Los valores de la media y la varianza de la distribución, se calculan:

Los valores de los parámetros estimados de μ y σ son respectivamente,

Momentos:
Esperanza | |Varianza | |
Moda | |
Mediana | |

Propiedades

La distribución log normal se caracteriza por las siguientes propiedades:
Asigna a valores a las tasas y probabilidades de fallo que de esta forma sólo pueden ser positivas.
Como depende de dos parámetros, según se verá, se ajusta bien a un gran número de distribuciones empíricas.
Es idónea para parámetros que son a su vez producto denumerosas cantidades aleatorias (múltiples efectos que influyen sobre la fiabilidad de un componente).
La esperanza matemática o media en la distribución lognormal es mayor que su mediana. De este modo da más importancia a los valores grandes de las tasas de fallo que una distribución normal con los mismos percentiles del 5% y 50% tendiendo, por tanto, a ser pesimista.

Sirve para:

Nos servirápara modelizar siniestros con grandes costes o cuantías por reclamación.

Aplicaciones

La distribución lognormal se ajusta a ciertos tipos de fallos (fatiga de componentes metálicos), vida de los aislamientos eléctricos, procesos continuos (procesos técnicos) y datos de reparación y puede ser una buena representación de la distribución de los tiempos de reparación. Es también unadistribución importante en la valoración de sistemas con reparación.
La distribución lognormal es importante en la representación de fenómenos de efectos Proporcionales, tales como aquellos en los que un cambio en la variable en cualquier punto de un proceso es una proporción aleatoria del valor previo de la variable. Algunos fallos en el programa de mantenimiento entran en esta categoría.
Según hemosEjemplos:
* Los ingresos de los habitantes de un municipio siguen una distribución logarítmica normal de parámetros 3 y 2. ¿Qué porcentaje de individuos se encuentra entre 70 y 150?
La variable X sigue una LN(3,2), se pide entonces,

Esto es, el 10.89% de los individuos de ese municipio tienen ingresos entre 70 y 150.

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Distribución Gamma oexponencial
La distribución gamma (Laplace, 1836) es una distribución biparamétrica, que se designa abreviadamente como (a,p), donde a y p son valores positivos. Su función de densidad es:
|
Dónde: . Además,
Esperanza | |
Varianza | |
Moda | si p>1 |
Mediana | carece de expresión explícita |
Coeficiente de simetría | |
Coeficiente de Kurtosis | |

Definición
* Una...