distribucion muestral y teorema del limite central

UNIDAD 2: DISTRIBUCION MUESTRAL Y TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL

DISTRIBUCION MUESTRAL:

En estadística se conoce como muestreo a la técnica para la selección de una muestra a partir de una población. Al elegir una muestra, se espera que sus propiedades sean extrapolables a la población. Este proceso permite ahorrar recursos, obteniendo resultados parecidos que si se realizase un estudio detoda la población. Cabe mencionar que para que el muestreo sea válido y se pueda realizar un estudio fiable (que represente a la población), debe cumplir ciertos requisitos, lo que lo convertiría en una muestra representativa. Los especialistas en estadística usan la palabra población para referirse no sólo a personas sino a todos los elementos escogidos para un estudio y emplean la palabramuestra para describir una porción escogida de la población.
Una estadística es una característica de una muestra y un parámetro es una característica de una población.

DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA:
Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media 1 y desviación estándar 1, y la segunda con media 2 y desviación estándar 2. Más aún, se elige una muestra aleatoria de tamañon1 de la primera población y una muestra independiente aleatoria de tamaño n2 de la segunda población; se calcula la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichas medias. La colección de todas esas diferencias se llama distribución muestral de las diferencias entre medias o la distribución muestral del estadístico 


La distribución es aproximadamente normal para n130 y n230. Silas poblaciones son normales, entonces la distribución muestral de medias es normal sin importar los tamaños de las muestras.
LA FÓRMULA que se utilizará para el cálculo de probabilidad del estadístico de diferencia de medias es:

EJEMPLO:
En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si  representa elpromedio de los pesos de 20 niños y es el promedio de los pesos de una muestra de 25 niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas.
Solución:
Datos:
1 = 100 libras
2 = 85 libras
1 = 14.142 libras
2 = 12.247 libras
n1 = 20 niños 
n2 = 25 niñas
 = ?

Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de lospesos de la muestra de niños sea al menos 20 libras más grande que el de la muestra de las niñas es 0.1056.


TEOREMA DE LÍMITE CENTRAL:
Es uno de los conceptos más poderosos de la estadística inferencial, que dice que la distribución de las medias muestréales tiende a tener una distribución normal. Esto se cumple sin importar la forma de la distribución de la población de donde se tomaronlas muestras. Siempre que el tamaño de la muestra sea de al menos 30, pero la distribución de muestreo de la media puede ser casi normal con muestras de incluso de la mitad de ese tamaño.
Si una población tiene media μ y desviación típica σ, y tomamos muestras de tamaño n (n > 30, ó cualquier tamaño si la población es "normal"), las medias de estas muestras siguen aproximadamente ladistribución:

FORMULA:



EJEMPLO:
Las bolsas de sal envasadas por una máquina tienen μ = 500 g y σ = 35 g. Las bolsas se empaquetaron en cajas de 100 unidades.
1.- Calcular la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de un paquete sea menor que 495 g.




DISTRIBUCION MUESTRAL PARA PROPORCIONES:
Muchas aplicaciones involucran poblaciones de datos cualitativos que deben...