Distribucion Multinomial

3.6. Distribución Multinomial
Una importante y útil variable aleatoria de mayor dimensión tiene una distribución conocida como distribución Multinomial. Suponga que un experimento E con espacio muestra L se particiona en K eventos mutuamente excluyentes, digamos B1, B2,…, Bk. Consideremos n repeticiones independientes de E y dejemos que pi= P (B ¡) sea constante de ensayo a ensayo, para i=1,2,… , k. si k=2, tenemos ensayos de Bernoulli como los descritos anteriormente.  [X1, X2,…, XK], tiene la siguiente distribución, donde Xi es el número de veces que Bi ocurre en las n repeticiones de E, i= 1, 2,…, k.
Ejemplos:
1. Las probabilidades son de 0.40, 0.20, 0.30 y 0.10, respectivamente, de que un delegado llegue por aire a una cierta convención, llegue en autobús, en automóvil o entren. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados aleatoriamente en esta convención a) 3 hayan llegado por aire, 3 en autobús, 1 en auto y 2 en tren?, b) 4 hayan llegado por aire, 1 en autobús y 2 en auto?, c) 5 hayan llegado en auto?
R=
a) n = 9
x1= # de delegados que llegan por aire = 3
x2= # de delegados que llegan en autobús = 3
x3= # de delegados que llegan en auto = 1x4= # de delegados que llegan en tren = 2

p1 = probabilidad de que un delegado llegue por aire = 0.40
p2 = probabilidad de que un delegado llegue en autobús = 0.20
p3 = probabilidad de que un delegado llegue en auto = 0.30
p4 = probabilidad de que un delegado llegue en tren = 0.10

p(x1=3, x2=3.x3=1, x4= 2; n = 9) 9! / 3.3.1.2. (0.40)3(0.20)3(0.30)1(0.10)2=0.0077414


b)n=9
x1 = 4 por aire; p1 = 0.40
x2 = 1 en autobús; p2 = 0.20
x3 = 2 en auto; p3 = 0.30
x4 = 2 en tren; p4 = 0.10
 p(x1=4, x2=1,x3=2, x4= 2; n = 9) 9 / 4.1.2.2.(0.40)4(0.20)1(0.30)2(0.10)2=0.15676

c)
n=9
x1= 5 lleguen en auto; p1 = 0.30
x2 = 4 (lleguen por aire o autobús o tren); p2 = 0.40+0.20+0.10 = 0.70p(x1= 5,x2= 4;n= 9)= 9/5.4.(0.30)5(0.70)4= 0.073514
 
2. De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillo de indias resultará en una descendencia roja, negra y blanca en la relación 8 : 4 : 4. Encuentre la probabilidad de que entre 8 descendientes, a) 5 sean rojos, 2 negros y un blanco, b) 3 sean rojos y 2 sean negros.
 R=
a)
n = 8
x1 = 5 rojos; p1= prob. Seanrojos = 8/16 = 0.50
x2 = 2 negros; p2 = prob. Sean negros = 4/16 = 0.25
x3 = 1 blanco; p3 = prob. Sean blancos = 4/16 = 0.25

  p(x1=5, x2=2,x3=1; n = 8) 8 / 5.2.1. (0.50)5(0.25)2(0.25)1=0.082031

b)
n=8
x1 = 3 rojos; p1 = 0.50
x2 = 2 negros; p2 = 0.25
x3 = 3 blancos; p3 = 0.25

 p(x1=3, x2=2,x3=3; n = 8) 8 / 3.2.3.(0.50)3(0.25)2(0.25)3=0.068359
3. Según una encuesta preliminar acerca del voto que los ciudadanos darán por los candidatos para gobernador del estado se ha detectado que aproximadamente un 52% votará por el partido verde, un 40% por el partido azul y un 8% por los partidos restantes, si se seleccionan aleatoriamente 6 personas con edad de votar, determine la probabilidad de que: a) 2 voten por el partidoverde, 1 por el azul y 3 por el resto de los partidos, b) 2 voten por el partido verde y 4 por el azul.
R=
b) n = 6
x1= 2 voten por partido verde; p1= prob. De que una persona vote por partido verde = 0.52
x2= 1 vote por partido azul; p2 = prob. De que una persona vote por partido azul = 0.40
x3= 3 voten por otros partidos; p3 = prob. De que una persona vote por otros partidos = 0.08  p(x1=2, x2=1,x3=3; n = 6)= 6 / 2.1.3. (0.52)2(0.40)1(0.08)3=0.0033226

 
b)n = 6
x1= 2 voten por el partido verde; p1= prob. De que una persona vote por partido verde=0.52
x2= 4 vote por partido azul; p2 = prob. De que una persona vote por partido azul = 0.40
x3= 0 voten por otros partidos; p3 = prob. De que una persona vote por otros partidos = 0.08


3.7. Distribución de...