Distribucion normal

La Distribución Normal

La distribución continua de probabilidad más importante de toda la estadística es la distribución de probabilidad normal. Como vimos anteriormente, una variable aleatoria continua es la que puede asumir un número infinito de posibles valores dentro de un rango específico. Estos valores usualmente resultan de medir algo ( medidas de longitud, de peso, de tiempo, detemperatura etc.)

Características de la distribución de probabilidad normal

La distribución de probabilidad normal y su curva tiene las siguientes características:

1. La curva normal tiene forma de campana. La media, la moda y la mediana de la distribución son iguales y se localizan en el centro de la distribución.

2. La distribución de probabilidad normal es simétrica alrededor de sumedia. Por o tanto, la mitad del área bajo la curva está antes del punto central y la otra mitad después. El área total bajo la curva es igual a 1.

3. La curva normal se aproxima de manera asintótica al eje horizontal conforme se aleja de la media en cualquier dirección. Esto significa que la curva se acerca al eje horizontal conforme se aleja de la media, pero nunca lo llega a tocar.

4. Lafunción de la curva normal es la siguiente:

F(x) = 1 e (- ½)[(x-µ)/σ]²
√ 2πσ


Donde π = 3.14159 y e = 2.71828

La familia de la distribución de probabilidad normal

Cuando se habla de la distribución normal, realmente se está hablando de una familia de curvas. Como se puede apreciar en la función de la curva normal, la curva depende de dos variables además de la variableindependiente x, tales como la media (), y la desviación estándar (). Por lo tanto se tendrán curvas diferentes para funciones con desviación estándar diferente aún cuando sus medias fuesen iguales, como se muestra enseguida.


Curvas normales con media igual y desviación estándar diferente.

Si por el contrario, las curvas tienen desviación estándar igual y la media es diferente, las curvasserán idénticas pero centradas en diferente posición en el eje horizontal.


Curvas normales con desviación estándar igual y media diferente

Si las curvas tienen la media diferente y también la desviación estándar diferente, aparte de estar centradas en diferentes lugares del eje x, tendrá formas diferentes.


Curvas normales con media diferente y desviación estándar diferente


Ladistribución normal estándar

El área bajo la curva normal y sobre el eje x es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria x tome un valor dentro de cierto intervalo. Para medir esta área es necesario calcular la integral de la función de la curva normal para un intervalo de valores. Para evitar la dificultad de resolver integrales es necesario tabular las áreas que corresponden a cada valorde x. Como el número de distribuciones normales es ilimitado sería una tarea sin fin intentar establecer tablas para cada combinación de y. Afortunadamente, un miembro de la familia de las distribuciones normales puede ser usado en todos los problemas donde la distribución normal es aplicable, esta es la distribución normal con media cero y desviación estándar 1, la cual es llamadadistribución normal estándar.
Cada distribución normal deberá estandarizarse, es decir, transformarse a una distribución normal estándar, utilizando un valor z, o variable aleatoria estándar.

Valor Z. Distancia entre un valor seleccionado, denominado X, y la media de la distribución, en unidades de una desviación estándar.

En términos de fórmula:

z = x – µ
σ

Gracias a esta fórmula podemostransformar cualquier distribución normal a la distribución normal estándar.

Áreas bajo la curva normal

Si se quiere saber la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores dentro de determinado rango, se necesitaría calcular el área bajo la curva, resolviendo la integral de la función para ese rango de valores.
Una característica que tiene cualquier distribución normal es que el...