Distribucion Normal

Propiedades de la distribución normal

* La distribución normal tiene forma de campana.
* La distribución normal es una distribución de probabilidad que tiene media = 0 y desviación estándar = 1.
* El área bajo la curva o la probabilidad desde menos infinito a más infinito vale 1.
* La distribución normal es simétrica, es decir cada mitad de curva tiene un área de 0.5.
*La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar.
* La forma y la posición de una distribución normal dependen de los parámetros , en consecuencia hay un número infinito de distribuciones normales.



Existe una relación del porcentaje de población a la desviación estándar. En la figura observamos por ejemplo que el área bajo la curva para tiene un porcentaje de 68.26%,= 95.46% y

La distribución normal estándar

El valor de z

Determina el número de desviaciones estándar entre algún valor X y la media de la población . Para calcular el valor de Z usamos la siguiente fórmula.

La distribución de probabilidad f (Z) es una distribución normal con media 0 y desviación estándar 1; esto es Z se distribuye normalmente con media cero y desviación estándar= 1 Z~N(0,1):

La distribución f (Z) se encuentra tabulada en la tabla de distribución normal estándar. En esta tabla podemos determinar los valores de Z o la probabilidad de determinado valor Z.

Ejemplo 1 : El gerente de personal de una gran compañía requiere que los solicitantes a un puesto efectúen cierta prueba y alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la pruebase distribuyen normalmente con media 485 y desviación estándar 30 ¿Qué porcentaje de los solicitantes pasará la prueba?

Calculando el valor de Z obtenemos:

=

Buscamos el valor correspondiente Z en las tabla de distribución normal. Z0.5 = .69146 = 69.146%. siendo esta la probabilidad de que la calificación sea menor a 500 P (X<500). Dado que el porcentaje pedido es la solución es1-.69146 =.3085 , 30.85% de los participantes pasarán la prueba.

Ejemplo 2:
Encuentre las probabilidades siguientes usando la tabla Z.

a) P(-1.23 < Z > 0)

Solución: Buscamos el valor Z1..23 en las tablas siendo este = .89065. restando .89065-.05 = .3905, este valor es la probabilidad de 0 a 1.23 que es exactamente la misma de –1.23 a 0 por simetría. Por lo tanto la probabilidad es.3905

La distribución Normal también llamada distribución de Gauss , es la distribución de probabilidad continua que aparece con más frecuencia en la teoría de probabilidades y está definida por la función :

 
Donde :   es la media y   es la desviación estándar.

 
Propiedades de la distribución normal:
1) La función es simétrica en z=0  (simétrico con respecto al eje Y).
2) Tieneforma de campana, por lo que favorece su aplicación a muchos modelos.
3) Dada su simetría , el área bajo la curva a la izquierda de z=0 representa el 50% , es decir representa a P=0.50. De la misma manera a derecha de z=0 representa el 50%, P=0.50.
4) La distribución normal “estandarizada” cuando  =0 y  =1 , permite trabajar con tablas, donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de lacurva de esta distribución.
 
Distribución  Normal estandarizada:
Una de las mayores ventajas para trabajar una distribución cualquiera es , que es posible “estandarizarla” para trabajarla como una distribución normal estandarizada con el soporte de las tablas de probabilidad acumulada.
Sabemos que distribución normal “estandarizada” sucede cuando:   =0 y  =1, entonces debemos usar la “variablenormal tipificada o estandarizada” : z

 
Donde :   es la media y   es la desviación estándar.
En esencia lo que se hace para trabajar con cualquier distribución es “trasladarla” al orígen (0,0) con  y luego “comprimirla” dividiéndola entre . A partir de allí las tablas ya tipificadas sera de gran utilidad.
( A continuación parte de las tablas de la distribución normal estandarizada)....