Distribucion Normal

Introducción: La distribución normal es por mucho la más importante distribución de probabilidad. Es una distribución variable continua.


Antecedentes históricos:
La distribución normal se conoce como la curva de Gauss o campana de Gauss, famoso matemático alemán del siglo 19.
Realmente, fue un trabajo de más de 200 años para descubrirla y establecer su ecuación. En este post, explico lahistoria de la distribución más conocida de la estadística: la ley normal.
Su origen viene de la observación de un estadístico francés del siglo 18, Abraham de Moivre, que, entre otras cosas, actuaba como consultor para temas de juegos. Observó, que al lanzar una moneda, la probabilidad de obtener “cara” (o “cruz”) en N tirada tenía una representación gráfica con una curva suave a medida que N sehacía grande. En el gráfico presentado a continuación, la altura de cada barra representa la probabilidad de que ocurra el evento (sale “cara” al lanzar una moneda) de N veces que lanzamos la moneda (hemos cogido, N=2; N=4; N=12). Si la moneda no está trucada, la probabilidad de que salga “cara” al lanzarla es del 50% (p=0,5). Este fenómeno sigue una distribución conocida como la Binomial.
De Moivreexplicó que si pudiéramos encontrar una ecuación para esta curva, solucionaríamos más fácilmente el cálculo de probabilidades de que aparezca “x” o más “cara” a lanzar N veces una moneda. Y eso fue uno de sus trabajos.
La gracia reside en que esta peculiar forma de campana también se detectó, en el siglo 17, por Galileo en el análisis de errores de medición de observaciones astronómicas; erroresatribuibles a la instrumentación y a los observadores. Notó que estos errores eran simétricos y que los pequeños errores eran más frecuentes que los errores grandes. De ahí, se plantearon varias hipótesis sobre la distribución de los errores de medición.
Fue solo a principio del siglo 19th que se descubrió que estos errores seguían una distribución normal. Dos matemáticos establecieron de maneraindependiente su fórmula: Adrian en 1808 y Gauss en 1809 que al final dio su nombre a la más famosa de las distribuciones estadísticas ya que numerosos fenómenos naturales se ajustan a ella y que presenta unas propiedades sumamente interesantes.



Función de probabilidad:
Para la distribución normal, se tiene la siguiente función de probabilidad.

Donde
 Es la constante matemática aproximada por2.71828
 Es la constante matemática aproximada por 3.14159
Parámetros
 es cualquier valor de la variable aleatoria continua, donde 
Así,


Propiedades de la distribución normal:
La distribución normal posee ciertas propiedades importantes que conviene destacar:

1. Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.

2. La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquiervalor entre y es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.

3. Es simétrica con respecto a su media. Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor.

4. La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a unadesviación típica. Cuanto mayor sea, más aplanada será la curva de la densidad.

5. El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo.

6. La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros y la media indica la posición dela campana, de modo que para diferentes valores de la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. Por otra parte, la desviación estándar determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de, más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana. Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos...