Distribucion

Distribución de probabilidad

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es unafunción que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de lavariable aleatoria.


Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.


Definición de función de distribución


Dada una variable aleatoria todos son puntos [pic],su función de distribución, [pic], es


[pic]


Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice [pic] y se escribe, simplemente, [pic].


Propiedades


Como consecuencia casi inmediata de la definición, la función de distribución:

▪ Es una función continua por la derecha.
▪ Es una función monótona no decreciente.

Además, cumple

[pic]

y[pic]

Para dos números reales cualesquiera [pic] y [pic] tal que [pic], los sucesos [pic] y [pic] son mutuamente excluyentes y su unión es el suceso [pic], por lo que tenemos entonces que:

[pic]
[pic]

y finalmente

[pic]

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución [pic] para todos los valores de la variable aleatoria [pic] conoceremoscompletamente la distribución de probabilidad de la variable.


Para realizar cálculos es más cómodo conocer la distribución de probabilidad, y sin embargo para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad.


Distribuciones de variable discreta



Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo tomavalores positivos en un conjunto de valores de [pic] finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

[pic]

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas lasprobabilidades desde [pic] hasta el valor [pic].


Distribución de Poisson


En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.


Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dioa conocer en 1838 Propiedades


La función de masa de la distribución de Poisson es


[pic]


donde

▪ k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
▪ λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, siel suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra kveces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
▪ e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)

Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson soniguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.


La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es...