Distribucion
Función generadora de momentos
En probabilidad y estadística, la función generadora de momentos o función generatriz de momentos de una variable aleatoria X es
siempre que esta esperanza exista.
La función generadora de momentos se llama así porque, si existe en un entorno de t = 0, permite generar los momentos de la distribución deprobabilidad:
Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entonces determina unívocamente a la distribución de probabilidad.[cita requerida]
Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que los momentos y la propia función generadora no siempre existen, porque las integrales que los definen no son siempre convergentes. Por el contrario, la funcióncaracterísticasiempre existe y puede usarse en su lugar.
De forma general, donde es un vector aleatorio n-dimensional, se usa en lugar de :
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[editar]Cálculo
Si X tiene una función de densidad continua, f(x), entonces la función generadora de momentos viene dada por
donde es el i-ésimo momento. es, precisamente, la transformada bilateral deLaplace de f(x).
Independientemente de que la distribución de probabilidad sea continua o no, la función generadora de momentos viene dada por la integral de Riemann-Stieltjes
donde F es la función de distribución.
Si X1, X2, ..., Xn es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente idénticamente distribuidas) y
donde las ai son constantes, entonces la función de densidadde Sn es la convolución de la función de densidad de cada una de las Xi y la función generadora de momentos para Sn viene dada por
Para variables aleatorias multidimensionales X con componentes reales, la función generadora de momentos viene dada por
donde t es un vector y es el producto punto.
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[editar]Relación con otras funciones
Hayuna serie de transformadas relacionadas con la función generadora de momentos que son comunes en la teoría de probabilidades:
Función característica
La función característica está relacionada con la función generadora de momentos via La función característica es la función generadora de momentos de iX o la función generadora de momentos de Xevaluada en los ejes imaginarios.
Función generadoraacumulada
La función generadora acumulada está definida como el logaritmo de la función generadora de momentos; hay quien define la función generadora acumulada como el logaritmo de la función característica, mientras que otros llaman a esta función lasegunda función generadora acumulada.
Función generadora de probabilidad
Variables aleatorias discretas
Definición 3.3 Se dice que unavariable aleatoria es discreta si toma un numero finito o a lo más numerable de valores:
En este caso la ley de la variable aleatoria es la ley de probabilidad sobre el conjunto de los valores posibles de que asocia la probabilidad al singleton .
En la práctica el conjunto de los valores que puede tomar es o una parte de .
Determinar la ley de una variable aleatoria discreta es:
1.Determinar el conjunto de los valores que puede tomar .
2. Calcular para cada uno de estos valores .
Punto de vista frecuentista.
Recordemos que el único sentido práctico que le podemos dar a la idea de probabilidad es el de un límite de frecuencias experimentales. Este es también el sentido que hay que dar a la noción de ley discreta. Repetimos veces, en forma independiente, elexperimento aleatorio del cual como resultado medimos . Se obtiene así una -tupla de variables aleatorias independientes de misma ley que (esto se llama una muestra). A partir de esta -tupla podemos calcular las frecuencias experimentales de los eventos ``'' :
Según la Ley de los Grandes Números, esta frecuencia debe converger a . Para todo las frecuencias experimentales definen una ley de...
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