DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 2015 SEM II


















1. INTRODUCCIÓN

El fenómeno del cambio climático genera muchas inquietudes acerca del comportamiento de algunas variables; es por esto que, variables hidrológicas como las precipitaciones y los caudales, muestran un papel fundamental en este aspecto, debido a que son variables directamente influenciables por fenómenos de amplio espectro temporal y espacial.
Por otra parte,para solucionar los problemas que implican el diseño de obras y la planificación hidrológica, se debe recurrir al estudio de la probabilidad, dado que dichos problemas se refieren a eventos que se podrían producir en el futuro, sin base en una estimación real, (Linsley et. al., 1988). Sin embargo no solamente se debe estimar la magnitud del diseño, también se debe indicar la probabilidad deexcedencia, con el fin de dar un cierto grado de seguridad a la obra, o bien el riesgo de falla, (Muñoz, 2004). De esta forma es necesario construir un modelo probabilístico, en donde se debe contar con una función de distribución de probabilidad (FDP), que represente la variable hidrológica de interés.
Las crecidas corresponden a fenómenos de concentración. Según Ollero (1996), son procesos naturales,sin periodicidad, constituidos por un incremento importante y repentino del caudal en un sistema fluvial, el cual lleva consigo un ascenso del nivel de la corriente, que puede desbordar el cauce menor para ocupar progresivamente el cauce mayor, hasta alcanzar un máximo, o caudal-punta y descender a continuación. Según Paoli et al. (1998), las crecidas que se presentan en términos hidrológicos,poseen un grado de riesgo y una probabilidad de excedencia diferente, según el caudal máximo, el volumen o la duración que se considere. Como consecuencia de ello las obras y medidas no estructurales que se disponen, estarán sometidas a un nivel de riesgo diferente según la variable utilizada, para determinar valores de diseño correspondientes a un determinado período de retorno.
En este marco, elpresente documento técnico basado en los contenidos del segundo curso del proyecto FONDEF D08I1054, tiene como fin realizar un aporte al conocimiento de las funciones de distribución de probabilidad que mejor ajustan al comportamiento de eventos extremos y en particular de la variable caudales máximos instantáneos (caudales punta), a través de un ejemplo práctico, en donde se utilizarán las 4funciones más utilizadas en estudios de variables hidrológicas, a saber Gumbel, Goodrich, Log-Normal y Pearson Tipo III, adicionalmente y a través de pruebas de bondad de ajuste como son el el coeficiente de determinación R cuadrado y el test de Kolmogorov Smirnov, se podrá realizar un análisis comparativo y una proyección de posibles eventos extremos asociados a diferentes períodos de retorno de loscaudales punta, obtenidos de la información fluviométrica proporcionada por la Dirección General de Aguas.









2. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD (FDP)

2.1 Definición de las FDP

Según Chow et al. (1994), al conjunto de observaciones x1, x2, . . . , xn, de la variable aleatoria, se denomina muestra. Una muestra es sacada de una población hipotéticamente infinita, que poseepropiedades estadísticas constantes. Las propiedades de una muestra pueden cambiar de una muestra a otra y, el conjunto de todas las muestras posibles que puede extraerse de una población, se conoce como espacio muestral, en donde un evento es un subconjunto muestral. Si las observaciones de una muestra están idénticamente distribuidas, éstas pueden ordenarse para formar un histograma de frecuencia. Ahorabien, si el número de observaciones ni, en el intervalo i que cubre un cierto rango, se divide por el número total de observaciones n, el resultado se conoce como frecuencia relativa. Asimismo, la suma de los valores de la frecuencia relativa hasta un punto dado, es la función de frecuencia acumulada, y en su límite, cuando n→∞ y ∆χ→0, se denomina función de distribución de probabilidad...