Distribuciones de probabilidad conjunta

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONJUNTA

Algunos experimentos estadísticos pueden incluir más de una variable aleatoria las cuales actúan en forma conjunta, y es de interés determinar la probabilidad correspondiente a los diferentes valores que estas variables puedan tomar.

En esta sección revisamos las distribuciones de probabilidad para dos variables aleatorias que intervienen en formaconjunta.

Caso discreto

Definición
Sean X, Y: variables aleatorias discretas. Entonces su función de distribución de probabilidad conjunta es f(x,y)

Esta función satisface las siguientes propiedades
1) (x(y (f(x,y)(0)
2) [pic]
3) P(X=x,Y=y) = f(x,y)

También se puede definir la distribución de probabilidad acumulada conjunta:

F(x,y) = P(X(x,Y(y) =[pic], -((x,y(( .

Ejemplo.
Una caja contiene 4 baterías defectuosas, 3 baterías en regular estado, y 2 baterías aceptables. Se toman dos baterías al azar.

a) Encuentre la distribución de probabilidad conjunta.

Solución
Sean las variables aleatorias discretas
X: cantidad de baterías defectuosas
Y: cantidad de baterías en regular estado
2-X-Y: esla cantidad de baterías en buen estado que se obtienen en la
muestra.
Siguiendo el modelo hipergeométrico, se tiene que la cantidad de formas diferentes de tomar x baterías defectuosas de las 4 existentes,
y baterías en regular estado, de las 3 existentes, y
2-x-y baterías aceptables de las 2 existentes, es
[pic]
Además hay [pic] formas diferentes de tomar dos bateríasde la caja. Por lo tanto, la distribución de probabilidad conjunta es
P(X=x, Y=y) = f(x,y) =[pic], x,y = 0,1,2; x+y(2
b) Calcule la probabilidad de obtener una defectuosa y una aceptable
Solución
P(X=1, Y=0) = f(1,0) =[pic]= 0.2222
Caso continuo

Definición
Sean X, Y: dos variables aleatorias continuas, entonces su función de densidad conjunta es f(x,y)

Esta función satisface lassiguientes propiedades
1) f(x,y)(0, x((, y((
2) [pic]
3) P(a(X(b, c(Y(d) = [pic]
La función de densidad de probabilidad de dos variables aleatorias continuas
X, Y, es una superficie en el espacio.

La probabilidad P(a(X(b, c(Y(d) es entonces una porción del volumen debajo de la superficie y sobre el rectángulo a(X(b, c(Y(d
[pic]
La función de distribución conjuntaacumulada es:
P(X(x, Y(y) = F(x,y) = [pic] .

Ejemplo.
Suponga que el tiempo de mantenimiento semanal de una máquina depende de dos variables aleatorias contínuas (horas):
X: duración del mantenimiento mecánico
Y: duración el mantenimiento eléctrico
Suponga que la densidad de probabilidad conjunta es
f(x,y) = [pic]

a) Verifique que es una función de densidad de probabilidadSolución
1) f(x,y)(0, x((, y((.
2) [pic]:
[pic]
=[pic]

b) Calcule la probabilidad que en alguna semana, el mantenimiento mecánico dure menos de 15 minutos y el mantenimiento eléctrico dure más de 30 minutos

Solución
P(X(1/4, Y(1/2) = [pic] = 13/96

DISTRIBUCIONES MARGINALES DE PROBABILIDAD

Estas definiciones corresponden a funciones deprobabilidad de cada variable.

Definición
Caso discreto (dos variables)
Sean X,Y variables aleatorias discretas y f(x,y) su función de probabilidad conjunta.
Entonces, las funciones de probabilidad
g(x)=P(X=x)=[pic]
h(y)=P(Y=y)= [pic]
Se denominan funciones marginales de probabilidad .

Caso continuo (dos variables)
Sean X,Y variables aleatorias continuasy f(x,y) su función de densidad de probabilidad conjunta.
Entonces, las funciones de densidad de probabilidad
g(x)=[pic]
h(y)= [pic]
Se denominan funciones marginales de densidad de probabilidad .

Para cada variable la distribución marginal se obtiene sumando la función de probabilidad sobre la otra variable.

Ejemplo.
En el problema de las baterías, encuentre la...