Distribuciones de Probabilidad

Apuntes curso
PROBABILIDAD IME040
Carrera de Pedagog´ en Matem´tica
ıa
a

Profesor:
RODRIGO PUCHI-ANCASAY
Mg. en Estad´
ıstica

Primer semestre 2014

UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA

Unidad 3
Distribuciones de variables aleatorias
unidimensionales

3.1.

Introducci´n
o

Existen distribuciones de probabilidad asociadas a variables aleatorias cuyos valores determinados por elrecorrido y la funci´n de probabilidad son ampliamiente conocidos y aplicados
o
en la resoluci´n de problemas en distintas ´reas del conocimiento. Por estos motivos han sido
o
a
desarrolladas distribuciones de probabilidad que buscan adaptarse mejor a situaciones espec´
ıficas, as´ han nacido desde un tiempo a la fecha multiples distribuciones de probabilidad que por
ı
sus caracter´
ısticaspueden seguir siendo estudiadas y aplicadas a otras situaciones.
Las expresiones dadas por las funciones de probabilidad de las distribuciones de variables
aleatorias van a depender de ciertas constantes, que se llamar´n par´metros de la distribuci´n, y
a
a
o
surgen desde la naturaleza e inter´s de los experimentos de estudio. Habitualmente los par´metros
e
a
determinan tres medidas quedescriben el comportamiento de la poblaci´n para la caracter´
o
ıstica
de inter´s X. Estas son: de posici´n, escala o dispersi´n y forma o asimetr´
e
o
o
ıa.
Es decir, las distribuciones de probabilidad son aproximaciones te´ricas a la realidad poblao
1

2

3.2. Distribuciones de Variables Aleatorias Discretas

cional, teniendo en cuenta que la realidad es compleja y puede asumirmultiples formas que es
muy dif´ de representar mediante un modelo matem´tico.
ıcil
a

Definici´n 3.1 Como se ha anticipado, las distribuciones de variables aleatoria que se estudiar´n
o
a
a continuaci´n responden a situaciones particulares que habitualmente reciben un nombre propio,
o
por lo que adoptaremos una notaci´n para resumir la distribuci´n de una variable aleatoria X:
o
o
XDonde X es la variable aleatoria,

 Distribuci´npθq
o

 es un s´
ımbolo que se lee como distribuci´n o distribuye
o

y θ es un vector que contiene los par´metros que especifican la distribuci´n de probabilidad de
a
o
la variable aleatoria.

Si se sabe que la variable aleatoria X sigue una cierta distribuci´n, entonces esta tiene asoo
ciados algunos elementos: Funci´n deprobabilidad (de cuant´ o de densidad y de probabilidad
o
ıa
acumulada), funci´n generadora de momentos, valor esperado (si existe) y varianza. Al contrario,
o
se puede identificar una distribuci´n para una variable aleatoria X si se conoce la funci´n de
o
o
probabilidad o la funci´n generadora de momentos; no as´ el valor esperado y la varianza, que
o
ı
no son suficientes para identificar unadistribuci´n espec´
o
ıfica.
En resumen:
X

3.2.

 Distribuci´npθq ô ppxq, f pxq
o
ô F p xq
ô MX ptq
ñ E pX q, V arpX q.

Distribuciones de Variables Aleatorias Discretas

Cuando el recorrido de la variable derivado desde el experimento es de car´cter discreto (toma
a
valores finitos o infinitos numerables), es decir, el recorrido est´ contenido en el conjunto de los
a

3.Distribuciones de probabilidad univariadas

3

enteros, se habla de una distribuci´n de variables aleatorias discretas. A continuaci´n se hace un
o
o
recorrido por algunas de las distribuciones usuales, para las cuales se especifica el experimento
asociado, la funci´n de cuant´ y a partir de la cual se deriva la funci´n generadora de momentos
o
ıa
o
para obtener la esperanza y la varianza.3.2.1.

Distribuci´n Bernoulli
o

Definici´n 3.2 (Ensayo Bernoulli) Un experimento se dice Bernoulli (o ensayo Bernoulli) si
o
s´lo consta de dos resultados posibles mutuamente excluyentes, ´xito y fracaso, con una cierta
o
e
probabilidad en la poblaci´n de estudio. Por tratarse de eventos complementarios, ´xito y fracaso,
o
e
la suma de las probabilidades asociadas a cada uno de estos...