Distribuciones De Probabilidad

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCION BINOMIAL
La distribución binomial está asociada a experimentos realizados n veces en el que consideramos solo la posibilidad de éxito o fracaso.

Ejemplo

Tiramos un dado 7 veces y contamos el número de cincos que obtenemos. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres cincos?

Este es un típico ejemplo de distribución binomial, pues estamosrepitiendo 7 veces el experimento de lanzar un dado. ¿Cuál es nuestro ´éxito?

Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos.
El fracaso, por tanto, será no sacar 5, sino sacar cualquier otro número.

Para calcular la probabilidad que nos piden, fiémonos en que nos dicen que sacamos 3 cincos y por lo tanto tenemos 3 éxitos y 4 fracasos. ¿De cuantas maneras pueden darse estasposibilidades?
Podríamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sin sacar cinco, es decir: EEEFFFF, EFEFFFE, EEFEFFF, etc. es decir que en realidad estamos calculando de cuantas maneras se pueden ordenar 4 fracasos y 3 éxitos.

73= 7!(3!)(4!)=35
Y por tanto, como P(E)=1/6 y tengo 3 éxitos y P(F)= 5/6y tengo 4 fracasos:

Definición de distribución binomial

Si realizamos n veces unexperimento en el que podemos obtener éxito, E, con probabilidad p y fracaso, F, con probabilidad q (q = 1 − p), diremos que estamos ante una distribución binomial de parámetros n y p. En este caso la probabilidad de obtener k éxitos viene dada por:

fx= nkpkqn-k

Fx=i=0x nipiqn-i

µ=np

Nota:
Observar que las probabilidades de éxito y fracaso son complementarias, es decir, q = 1-p y p =1-q, por lo que basta saber una de ellas para calcular la otra.

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA.
Esta distribución se realiza n ensayos para conseguir el primer éxito.
fx=qx-1p
Fx=1-qx
µ=1p
σ=qp2
Ejemplo.
Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sol es de 1/3, Determine laprobabilidad de que en el último lanzamiento aparezca un águila.
Solución: Si nosotros trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8 lanzamientos de la moneda, observaremos que la única rama de ese árbol que nos interesa es aquella en donde aparecen 7 sol seguidos y por último un águila; como se muestra a continuación:
S S S S S S S A
x = el número de repeticiones del experimentonecesarias para que ocurra un éxito por primera y única vez = 8 lanzamientos
p = probabilidad de que aparezca una águila = P( éxito) = 2/3
q = probabilidad de que aparezca un sol = P(fracaso) = 1/3
Entonces la probabilidad buscada sería;
P(aparezca una águila en el último lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) =
=q*q*q*q*q*q*q*p = qx-1p
Luego, la fórmula a utilizar cuando sedesee calcular probabilidades con esta distribución sería;
fx=qx-1p
Dónde:
P(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vez
p = probabilidad de éxito
q = probabilidad de fracaso
Resolviendo el problema de ejemplo;
x = 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por primera vez una águila
p = 2/3 probabilidad de que aparezca una águila
q = 1/3probabilidad de que aparezca un sol
fx=8=138-123=0.0003048

DISTRIBUCION PASCAL
Esta distribución de variable discreta estudia el número de experimentos, independientes entre sí, realizados hasta la obtención del k-ésimo éxito. Es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y p.
Donde
k es el número de ensayos exitosos donde acaba el experimento y p es laprobabilidad de éxito en un ensayo (o experimento).
Rx= k,+ k+1, k+2…
fx=x-1k-1qx-kpk
Fx=i=kxx-1k-1qx-kpk
µ=kp
σ=kqp2
Ejemplo
Marco lanza 3 dados hasta que le salga 3 veces suma mayor que 9
1,3,6=3! 1,4,6=3! 1,5,6 =3! 1,6,6 =3
2,2,6=3 2,3,6=3! …etc. =147 combinaciones cuya suma es mayor que 9
#S=63=216
p= 147216
q=69216
fx=3-13-1692163-31472163=0.31...