Distribuciones de probabilidad

Introducción:
En el siguiente trabajo se dará a conocer la información obtenida después de haber realizado una investigación sobre algunos de los diferentes tipos de distribuciones como lo son la distribución gamma, la distribución beta y la distribución Weibull.
En donde se explicara cada uno de estos tipos de distribución y en donde son utilizados estos métodos, además se presentarantanto las formulas como las graficas que comúnmente son utilizadas en cada una de estas distribuciones.
Por último se resolverán 2 ejemplos de cada uno de los tipos de distribución esto para dejar un poco más claro el uso y aplicación de cada uno de estas distribuciones.

Objetivo:
El objetivo de esta investigación es dar a conocer al alumno un poco sobre los diferentes tipos de distribución,su uso, formulas utilizadas y las graficas comúnmente utilizadas en cada una de estas distribuciones.

Distribución gamma
En estadística la distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros β, α.
El parámetro β llamado parámetro de escala, refleja el tamaño de las unidades en que se mide y es parámetro α se conoce como parámetro de forma, si semodifica su valor cambia la forma de la distribución gamma, esto nos permite obtener funciones de densidad de muchas formas distintas para modelar distribuciones de frecuencia relativa de datos experimentales.
Cuando α = 1, la función de densidad gamma se denomina distribución exponencial. Esta importante función de densidad se emplea como modelo para la distribución de frecuencias relativa deltiempo entre llegadas a un mostrador de servicio (centros de cómputo, caja de súper mercado, clínica hospitalaria, etc.) Cuando la probabilidad de que un cliente llegue en cierta unidad de tiempo es igual a la probabilidad de que llegue en cualquier otra. La función también se utiliza como modelo para la duración de equipos o productos industriales cuando la probabilidad de que un componente viejoopere por lo menos t unidades de tiempo adicionales, dado que está funcionando ahora. Es igual a la probabilidad de que un componente nuevo opere al menos t unidades de tiempo. El equipo sujeto a mantenimiento periódico y recambio de piezas a menudo exhibe esta propiedad de nunca envejecer.
Como ya se dijo la distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros β, αcuya función de densidad para valores x > 0 es

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Para x > 0, α > 0, β > 0

Donde Г (α) es un valor de la función gamma, definida por

La integral por partes muestra que

Para toda α>1 y, por ende, que г(α)=(α-1)! cuando α es numero entero positivo
En efecto, la sesgadura decrece a medida que α se incrementa para cualquier valor fijo de β. La media y la varianza de ladistribución gamma pueden obtenerse con el uso de la función gamma y sus propiedades especiales ya mencionadas. Para la media tenemos

Y tras, conceder que y= x÷β, obtenemos

Después, haciendo uso de la identidad llegamos al resultado
Medida de distribución gamma
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Usando métodos similares, también es posible demostrar que la varianza da la distribución gamma está dada por.Varianza de la distribución gamma
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En el caso especial de que α=1, obtenemos la distribución exponencial. Cuya densidad de probabilidad es entonces

para x>0, β>0 |

Grafica de la distribución gamma

Distribución beta
En estadística la distribución beta es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros α y β cuya función de densidad para valores 0 < x < 1es
Para 0< x <1, α>0, β>0
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la función gamma. El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución beta son
La media y la varianza de esta distribución están dadas por
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Un caso especial de la distribución Beta con a = 1 y b = 1 es la probabilidad uniforme.
Como recordaremos en la distribución gamma dijimos que proporciona un modelo...