Distribuciones De Tipo Continuo

Estadística Empresarial II

DISTRIBUCIONES DE TIPO CONTINUO
1.DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA.
1.1 DEFINICIÓN.
Una variable aleatoria se dice que sigue una distribución uniforme continua en unintervalo
real ( a , b) , y se representa por X → U ( a, b), si su función de densidad es constante en dicho
intervalo y nula fuera de él; es decir:
k a < x < b
f X (x) = 
 0 en el restoDebemos calcular k:

∫

∞

f X ( x ) dx = 1 ⇒

−∞

∫

b

k dx = k (b − a ) = 1 ⇒ k =
a

1
b−a

Por tanto, la función de densidad de una v.a. uniforme continua de parámetros a y b,
(a, b ∈ R, a < b) es:
1
b − a a < x < b

f X (x) = 
0
en el resto


f(x)

1
b−a

a

b
x

Cualquier elección de puntos reales al azar y sin preferencias en un intervalo es unav.a.
uniforme.
1.2. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN.
F(x)

0
x 0

x≤0

Se representa por X → γ (a, p ). El valor de Γ(p) se obtiene:
Γ( p ) =

∞

∫x

p −1

e − x dx = ( p − 1)!

0

Paracomprobar que es función de densidad, basta hacer el cambio ax = t .
Dependiendo de los distintos valores de a y p , podemos obtener diferentes funciones de
densidad, como muestran las siguientesgráficas:

p1

Las variables "tiempo de espera" se ajustan bien a una distribución gamma.

3.2. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN.
0
x p
a
FX ( x ) = 
t p −1 e − at dt

 0 Γ ( p)

∫

Losvalores de esta función se recogen en una tabla.

3.3. MOMENTOS.
20

x≤0
x>0

Estadística Empresarial II

( )=∫

EX

∞

k

Γ( p + k )
ap
x
x p −1 e − a x dx = k
Γ( p )
a Γ( p )k

0

E(X ) =

()

E X2 =

Varianza:

a p+k
x p + k −1 e − a x dx
Γ( p + k )

0

Γ (p + k)
a k Γ ( p)

()

⇒ E Xk =

Esperanza:

∫

∞

p Γ ( p)
Γ ( p + 1)
p
=
=
a Γ( p)
a Γ ( p)
a

( p + 1) p Γ ( p ) = p 2 + p
Γ ( p + 2)
=
a 2 Γ ( p)
a 2 Γ ( p)
a2

( ) − [E ( X )]

Var ( X ) = E X

2

2

2

p2 + p
p
 p
=
−  = 2
2
a
a
a...