Distribuciones gamma

II. DISTRIBUCIONES CONTINUAS
· EXPONENCIAL
Se dice que una variable aleatoria continua X, que toma todos los
valores no negativos, tiene una distribución exponencial conparámetro
α > 0 si su función de densidad está dada por:
La función de distribución (de probabilidad acumulada) está dada
por:
La distribución exponencial desempeña un papel importanteen la
descripción de una gran clase de fenómenos, especialmente en el área
de la teoría de la confiabilidad.
La confiabilidad de un componente en el tiempo t, está definidocomo:
Donde T es el tiempo para que la falla ocurra o la duración del
componente, y F se llama función de confiabilidad.
La tasa de fallas, h(t), algunas veces llamada función deriesgo,
asociada con la variable aleatoria T está dada por:
Como la ley exponencial de fallas supone una tasa de fallas
constante, es decir, h(t)=α ; ∀ t >0, la función de densidadasociada con
el tiempo para que ocurra la falla(T), está dada por:
Sintaxis:
Generación de números aleatorios
rexp(n, α )
Probabilidad Acumulada
pexp(q, α )
Evaluación de laFunción densidad de probabilidad
dexp(x, α )
Inversa de la probabilidad
qexp(p, α )
Ejemplo:
1. Un dispositivo tiene una frecuencia de falla constante h(t) = 10-2 por
hora.¿Cual es la confiabilidad del dispositivo para 200 horas?
> F.exp 1-F.exp
[1] 0.1353353
Es decir, se tiene una confiabilidad de 0.135.
2. Suponer que la duración de un instrumentoelectrónico está
distribuido exponencialmente. Se sabe que la confiabilidad del
instrumento para un periodo de operación de 100 horas, es de 0.90.
¿Cuántas horas de operación sedeben considerar para obtener una
confiabilidad de 0.95?
> alfa alfa
[1] 0.001053605
> -log(0.95)/alfa
[1] 48.6836
Se deben considerar, aproximadamente, 48,7 horas.