DISTRIBUCIONES MARGINALES

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Versión Actualizada al: 13 de mayo de 2004

Distribuciones marginales
Como vimos antes, cadacomponente de una variable aleatoria bidimensional es una
variable aleatoria unidimensional en sí misma. Es decir, cada una de las dos
variables aleatorias que forman la variable aleatoria bidimensional es una variable
aleatoria unidimensional común y corriente. Entonces nos puede interesar conocer
la distribución de una componente por separado, sin tener en cuenta a la otra
componente.
Eso sedenomina "marginar", y la distribución de la variable unidimensional por
separado se llama "distribución marginal".

Distribuciones marginales de variables aleatorias
discretas
Sea la variable aleatoria bidimensional XY distribuida según P XY(x,y), la distribución
de X (también llamada distribución marginal de X) es:
PX (x) =

+∞

∑P

y = −∞

XY

(x, y)

para cada valor x de lavariable aleatoria X
Análogamente, la distribución de Y es:
PY ( y) =

+∞

∑P

x = −∞

XY

(x, y)

para cada valor y de la variable aleatoria Y
Es decir, para cada valor posible de la variable aleatoria cuya distribución se desea
hallar, se suman las probabilidades conjuntas de ese valor con cada uno de los
valores posibles de la otra variable.
Ejemplo 1

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Si la distribución conjunta es:
Y
P XY
20
30
1
0,1
0,3
X
2
0,4
0,2
Vamos a hallar la distribución de X.
Primero enumeramos los valores posibles de X: 1; 2.
Y ahora para cada valor posible de X, aplicamos la fórmula.
PX (1) =
PX (2) =

+∞

∑P

y = −∞

XY

+∞

∑P

y = −∞

XY

(1, y) = PXY (1,20) + PXY(1,30) = 0,1 + 0,3 = 0,4
(2, y) = PXY (2,20) + PXY (2,30) = 0,4 + 0,2 = 0,6

Entonces obtuvimos:
0,4
x =1 


PX (x) = 0,6 x = 2 
 0 ∀ otro x



Ahora hallemos la distribución de Y:
Primero enumeramos los valores posibles de Y: 20; 30.
Y ahora para cada valor posible de X, aplicamos la fórmula.
PY (20) =
PY (30) =

+∞

∑P

x = −∞

XY

+∞

∑P

x = −∞

XY(x,20) = PXY (1,20) + PXY (2,20) = 0,1 + 0,4 = 0,5
(x,30) = PXY (1,30) + PXY (2,30) = 0,3 + 0,2 = 0,5

Entonces obtuvimos:
0,5 y = 20 


PY ( y) = 0,5 y = 30 
 0 ∀ otro y



Veamos lo que ocurre si en la tabla que usamos para escribir la distribución
conjunta, agregamos los totales por fila y por columna:
Y
P XY
20 30
1 0,1 0,3 0,4
X
2 0,4 0,2 0,6
0,5 0,5
Observamosque en los márgenes de la tabla no obtuvimos otra cosa que las
distribuciones marginales de X y de Y. Esa es la razón por la cual las distribuciones
de X e Y por separado se denominan "marginales".
Ejemplo 2

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Vamos a hallar rápidamente las distribuciones de las variables X e Y, cuya
distribución conjuntaes la siguiente:
Y
P XY
1
2
3
5
0 5/35 3/35 2/35 2/35
1 2/35 4/35 3/35 1/35
X
2 2/35 1/35 2/35 2/35
3 1/35 1/35 2/35 2/35
Como hicimos antes, anotaremos en los márgenes de la tabla los totales por fila y
por columna:
Y
P XY
1
2
3
5
0 5/35
3/35
2/35
2/35 12/35
1 2/35
4/35
3/35
1/35 10/35
X
2 2/35
1/35
2/35
2/35 7/35
3 1/35
1/35
2/35
2/35 6/35
10/35 9/35 9/357/35

Luego

12 / 35 x = 0 


x =1 
10 / 35


PX (x) =  7 / 35
x=2 


x =3 
 6 / 35
 0
∀ otro x



10 / 35
y =1 


y=2 
 9 / 35


PY ( y) =  9 / 35
y=3 


y=5 
 7 / 35
 0
∀ otro y



Distribuciones marginales de variables aleatorias
continuas
La marginación de variables continuas es análoga a la de las variables...