Distribuciones Muestrales

Estadística 2 A

Ing. Edwin Bracamonte

Teoría del muestreo
En todo análisis estadístico se recurre a la extracción de muestras de una
población con el objeto de poder inferir el comportamiento de la población, por
ejemplo, la opinión que se tiene respecto a una opción electoral, el promedio de
ingresos de una comunidad, el número promedio de kilómetros por galón como
medida delrendimiento de un vehículo.
Las poblaciones pueden ser consideradas finitas o infinitas, finitas cuando el
número de elementos de la población es conocido, e infinitas cuando se
considera que el número de elementos o miembros de la población es muy
grande considerándola infinita contable.
Estas muestras pueden ser extraídas con o sin reemplazo y Los indicadores que
se calculan tomando en cuentatodos los elementos de la población se denomina
“parámetros poblacionales” o simplemente “parámetros”, mientras que los
indicadores que se calculan con los datos de la muestra se denomina
“estadísticos muestrales” o simplemente “estadísticos”.

Distribuciones Muestrales
Una distribución muestral está relacionada con la distribución que se obtiene al
calcular un estadístico θ a cada una de todasla muestras posibles de tamaño n
extraídas de una población de tamaño N (donde n< N). Dicho estadístico puede
diferir o no de una muestra a otra. Con valor esperado E(θ)= µ y varianza
V(θ)=σ . donde θ puede ser la media aritmética 𝑋, la proporción de éxitos p, la
varianza 𝑠 ! . Y en el caso de dos poblaciones la diferencia de medias, la
diferencia de proporciones o la razón de varianzas.
θ2
θ

Distribución muestral de medias de una población con varianza
conocida
Si el estadístico θ es la media aritmética 𝑋 para muestras extraídas de una
población con varianza σ2 conocida, se obtiene la distribución muestral de medias
cuyo valor esperado y error estándar esta dado por:
•

Población infinita (muestreo con reemplazamiento)

µ =µ

σ =

__

n
Población finita(muestreo sin reemplazamiento)
σ N −n
µ __ = µ
σ __ =
X
X
n N −1
X

•

σ

__

X

Si n > 30 o se conoce σ2 de la población la distribución muestral de medias se
aproxima a la distribución normal con variable tipificada:
__

z=

X− µ

σ

__

X

Distribución muestral de medias de una población con varianza
desconocida
Si n < 30 la distribución muestral de medias seaproxima a la distribución t de
student con n-1 grados de libertad y variable:
__

X−µ
t=
s
ˆ
n
Donde:
2

__
⎛
⎞
2
⎜ xi − X ⎟
2
∑ ⎝
2
⎠ = n∑ xi − (∑ xi )
s = n −1
ˆ
n(n − 1)

Distribución muestral de proporciones de una población
Cuando el interés se centra en la proporción de éxitos observados en la muestra
!
el estadístico θ se convierte en 𝑝 = !, el cual se suponese distribuye binomial
con parámetros E(X)=np y varianza V(X)=np(1-p). De acuerdo al Teorema de
límite central, la distribución muestral de proporciones se aproxima a la
distribución normal con variable tipificada:

z=

x ± 1/ 2 − np
np(1 − p)

Otra forma:

µp = p
ˆ

z=

σp =
ˆ

pq
n

1
−p
2n
p(1 − p)
n

p±
ˆ

Distribución muestral de varianza de una población
Si elestadístico θ es la varianza 𝑠 !  se obtiene la distribución muestral de
varianzas la cual se aproxima a la distribución χ (ji cuadrado o chi cuadrado) con
n-1 grados de libertad y variable:
2

χ2 =

(n − 1)s 2
ˆ

σ

2

2

Distribución muestral de diferencia de medias de poblaciones
con varianza conocida
Si el estadístico θ es la media aritmética para muestras extraídas de dospoblaciones independientes con varianza σ 2 y σ 2, se obtiene la distribución
muestral de diferencia de medias cuyo valor esperado y error estándar esta dado
por:
1

•

Poblaciones infinita (muestreo con reemplazamiento)

µ

•

2

__

__

= µ1 − µ 2

σ

__

σ 12

=

n1
Poblaciones finitas (muestreo sin reemplazamiento)

µ

__

__

X1 − X 2

X1 − X 2

=...