Distribuciones muestrales

Unidad II - Distribuciones muestrales

La distribución normal de probabilidades
Fue introducida por Carl Friedrich Gauss a principios del siglo XIX en su estudio de los errores de medida. Desde entonces se ha utilizado como modelo en multitud de variables (peso, altura, calificaciones...), en cuya distribución los valores más usuales se agrupan en torno a uno central y los valores extremos sonescasos.
Una variable aleatoria continua sigue una distribución normal si su función de densidad es:

Antecedentes
La distribución normal fue presentada por vez primera por Abraham de Moivre en un artículo del año 1733, que fue reimpreso en la segunda edición de su The Doctrine of Chances, de 1738, en el contexto de cierta aproximación de la distribución binomial para grandes valores de n.Su resultado fue ampliado por Laplace en su libro Teoría analítica de las probabilidades (1812), y en la actualidad se llama Teorema de De Moivre-Laplace.
Laplace usó la distribución normal en el análisis de errores de experimentos. El importante método de mínimos cuadrados fue introducido por Legendre en 1805. Gauss, que afirmaba haber usado el método desde 1794, lo justificó rigurosamente en1809 asumiendo una distribución normal de los errores. El nombre de Gauss se ha asociado a esta distribución porque la usó con profusión cuando analizaba datos astronómicos y algunos autores le atribuyen un descubrimiento independiente del de De Moivre. Esta atribución del nombre de la distribución a una persona distinta de su primer descubridor es un claro ejemplo de la Ley de Stigler.
El nombre de"campana" viene de Esprit Jouffret que usó el término "bell surface" (superficie campana) por primera vez en 1872 para una distribución normal bivariante de componentes independientes. El nombre de "distribución normal" fue otorgado independientemente por Charles S. Peirce, Francis Galton y Wilhelm Lexis hacia 1875. A pesar de esta terminología, otras distribuciones de probabilidad podrían sermás apropiadas en determinados contextos; véase la discusión sobre ocurrencia, más abajo.

Características
Algunas propiedades de la distribución normal son:
1. Es simétrica respecto de su media, μ;

Distribución de probabilidad alrededor de la media en una distribución N (μ, σ).
2. La moda y la mediana son ambas iguales a la media, μ;
3. Los puntos de inflexión de la curva se danpara x = μ − σ y x = μ + σ.
4. Distribución de probabilidad en un entorno de la media:
* en el intervalo [μ - σ, μ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución;
* en el intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución;
* por su parte, en el intervalo [μ -3σ, μ + 3σ] se encuentra comprendida,aproximadamente, el 99,74% de la distribución. Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento de intervalos de confianza. Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estándar.
5. Si X ~ N(μ, σ2) y a y b son números reales, entonces(aX + b) ~ N(aμ+b, a2σ2).
6. Si X ~ N(μx, σx2) e Y ~ N(μy, σy2) son variables aleatorias normales independientes, entonces:
* Su suma está normalmente distribuida con U = X + Y ~ N(μx + μy, σx2 + σy2) (demostración). Recíprocamente, si dos variables aleatorias independientes tienen una suma normalmente distribuida, deben ser normales (Teorema de Crámer).
* Su diferencia estánormalmente distribuida con .
* Si las varianzas de X e Y son iguales, entonces U y V son independientes entre sí.
* La divergencia de Kullback-Leibler,
1. Si e son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas, entonces:
* Su producto XY sigue una distribución con densidad p dada por
donde K0 es una función de Bessel modificada de segundo tipo.
*...