Distribuciones

Datos de frecuencia...
Binomial, Poisson o Binomial Negativa?
Mart´n Guarneros
ı

1.

El problema

Se tiene un conjunto de datos (muestra) {(xi , f oi )}, i = 1, ..., n, es decir, n valoresde nuestra variable
aleatoria con sus respectivas frecuencias observadas.
Cu´ l es el modelo de distribuci´ n de probabilidad de variable aleatoria discreta que ajustan estos
a
o
datos?(Posteriormente veremos el uso de la prueba χ2 para fundamentar esta, nuestra primera aproximaci´ n
o
al problema.)

2.

Esquema del procedimiento
De nuestros datos (muestra), obtenemos la media y lavarianza correspondiente.
Comparamos media y varianza.
Elegimos el modelo sugerido en base al punto anterior.
Calculamos la probabilidad predicha por el modelo elegido.
Calculamos las frecuenciaspredichas por dicho modelo (frecuencias esperadas)
Graficamos tanto frecuencias observadas como frecuencias esperadas.
Concluimos y comentamos al respecto.

3.

C´ lculos
a
1. A partir de {(xi ,f oi )}, i = 1, ..., n calcular Σi f oi y Σi (xi )(f oi )
2. Calcular la media x =
˜

Σi (xi )(f oi )
Σi f oi

3. Calcular Σi f oi (x − x)2
˜
1

4. Calcular la varianza s2 =

Σi f oi (x− x)2
˜
(Σi f oi ) − 1

5. Comparar x con respecto a s2
˜
I x > s2 se sugiere distribuci´ n Binomial.
˜
o
´
a) Los par´ metros son: n, el n´ mero de datos y la probabilidad de exito p =
au

x
˜
n

n x n−x
pq
para los xi
x

b) Calcular las probabilidades p(x) =
II x = s2 se sugiere Distribuci´ n Poisson.
˜
o
a) El par´ metro es λ = x
a
˜
b) Calcular lasprobabilidades p(x) =

e−λ λx
para todos los xi
x!

III x < s2 se sugiere Binomial negativa
˜
x
˜
a) Calcular los par´ metros p =
a
y r = px
˜
x + s2
˜
k−1 r
b) Calcular las probabilidades p (X =k ) =
p (1 − p)k−r para todos los xi
r−1
6. Calcular las frecuencias esperadas f ei = (Σi f oi )p(xi )
7. Graficar {(xi , f oi )} y {(xi , f ei )}
8. Hacer observaciones y comentarios

2...