distribuciones

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Tercera
Unidad Didáctica

"DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISCRETAS"

3.1 Parte básica

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3.1.1 Variables aleatorias
En

cualquier

experimento

aleatorio

tenemos

resultados

cualitativos

o

cuantitativos. Con el objeto de facilitar el estudio matemático, a cada uno de estos
resultados le hacemos corresponder un número real.
Por ejemplo, elresultado de tomar un español al azar y medir su estatura es un
número; el resultado de tomar una familia al azar y anotar el número de hijos es un
número; el resultado de aplicar un tratamiento a un enfermo y observar si se cura o no,
es un dato cualitativo, que puede convertirse en cuantitativo asignando un "1" al
enfermo que se cura y un "0" al enfermo que no se cura.
En realidad lo que estamoshaciendo es asignar a cada suceso del espacio muestral
un número, pero esta asignación no tiene por qué ser única.
Pongamos un ejemplo: lanzamos dos dados al aire y a cada suceso elemental le
podemos asignar la suma, el producto, etc., de los números que aparecen en las caras
superiores.
Al igual que los resultados de un fenómeno aleatorio no son predecibles, los
resultados de una variablealeatoria tampoco lo son, pero podemos calcular la
probabilidad de que ocurra un determinado suceso.
A veces puede ocurrir que los valores que toma la variable aleatoria son los
mismos, pero no ocurre lo mismo con las probabilidades. Pongamos un ejemplo.
Se dispone de dos fármacos A y B distintos para curar una misma enfermedad; los
resultados de la variable aleatoria solamente pueden ser 1 ó 0y uno de ellos puede
curar el 20% de los casos y el otro el 70%.
Para tener identificada una variable aleatoria no basta con indicar los valores que
pueda tomar, hay que indicar también sus probabilidades.
Una variable aleatoria X es toda función que toma diversos valores
numéricos (dependientes del resultado de un fenómeno aleatorio) con
distintas probabilidades.

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Cuando lavariable aleatoria toma un número finito o infinito numerable* de
valores, diremos que es una "variable aleatoria discreta".
Veamos ejemplos:
En el caso del lanzamiento de un dado perfecto, la variable aleatoria X= "número
que sale en la cara superior" puede tomar los valores X={1, 2, 3, 4, 5, 6} con
probabilidades P(X)={1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6}.
Si consideramos la variable aleatoria X="número de varones en una familia de
dos hijos", X={0, 1, 2} y P(X)={1/4, 1/2, 1/4}.
(Observar el espacio muestral del experimento aleatorio).

En general diremos, que una variable aleatoria discreta estará identificada si
conocemos sus posibles valores X = {x1 , x 2 , ..., x n } y sus respectivas
probabilidades P(X = x i ) = P i

Observemos que la suma de las probabilidades es 1: ! Pi = 1
iA toda regla que permita asociar a cada valor xi de la variable aleatoria su
probabilidad Pi, la llamaremos "función de probabilidad".
Tal función de probabilidad puede venir dada por una tabla:
X

0

1

2

P(X)

1/4

1/2

1/4

o bien por una fórmula matemática.
También podemos definir la variable aleatoria a través de la "función de
distribución".
F(X) = P(X ! x)

*

Unconjunto infinito A se dice que es numerable si se puede establecer una aplicación
biyectiva f entre el conjunto de los naturales y A.

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F(X) no es más que la probabilidad de que la variable X tome valores menores o
iguales que x.
En el ejemplo anterior:
F(0) = P(X ! 0) = P(X = 0)
F(1) = P(X ! 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
F(2) = P(X ! 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

De un modogeneral, a toda tabla, gráfica o expresión matemática que
indique los valores que puede tomar una variable aleatoria y las
probabilidades con que los toma, se llamará "distribución de probabilidad
de dicha variable aleatoria".
El concepto de variable aleatoria proporciona un medio para relacionar cualquier
resultado con una medida cuantitativa.

3.1.2 Esperanza, varianza y desviación...