Distribuciones

ESTAD´
ISTICA
DISTRIBUCIONES
Alberto Luce˜ o
n
Francisco J. Gonz´lez
a

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ıculo

Copyright c 2003 gonzaleof@unican.es
Actualizado el: 15 de marzo de 2003

Versi´n 2.00
o

Tabla de Contenido
2. Distribuciones discretas
3. Distribuciones continuas
Soluciones a los Ejercicios

Secci´n 2: Distribuciones discretas
o

3

2.Distribuciones discretas
Ejercicio 66. Suponiendo que cada beb´ tiene una probabilidad 0,51
e
de ser var´n, h´llese la probabilidad de que una familia de 6 hijos
o
a
tenga:
a). Por lo menos un ni˜o.
n
b).

Por lo menos una ni˜a.
n

Ejercicio 67. Si la probabilidad de acertar en un blanco es 1/5 y se
hacen 10 disparos de forma independiente, ¿cu´l es la probabilidad de
a
acertar por lomenos dos veces?
Ejercicio 68. Demostrar que si la variable aleatoria X tiene distribuci´n binomial (X ∼ Bin(n, p)), se tiene:
o
µX = np

;

2
σX = npq.

Ejercicio 69. Se lanza una moneda 500 veces. Estimar la probabilidad de que el n´mero de caras est´ comprendido entre 240 y 260.
u
e
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o

4

Ejercicio 70. En unaregulaci´n de calles por sem´foros, la luz verde
o
a
est´ encendida durante 15 segundos, la luz ´mbar 5 segundos y la luz
a
a
roja 55 segundos. Supongamos que las condiciones de tr´fico inducen
a
variaciones aleatorias en los tiempos de llegada de los autom´viles,
o
de forma que ”llegar cuando el sem´foro est´ verde” es un suceso
a
a
aleatorio. Para cinco coches que lleguen en tiemposdiferentes e indeterminados, calcular la probabilidad de que:
a). solo tres encuentren la luz verde;
b).

a lo sumo cuatro encuentren la luz verde;

c).

m´s de uno encuentre la luz verde.
a

Ejercicio 71. Una firma de pedidos por correo env´ una carta a sus
ıa
clientes. La probabilidad de que un cliente elegido al azar conteste a
esa carta es de p = 0,1. Hallar:
a). Distribuci´n deprobabilidad del n´mero X de cartas que debe
o
u
enviar hasta obtener exactamente 1 respuesta.
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o

5

b).

La esperanza y varianza matem´tica de la variable X.
a

c).

Distribuci´n de probabilidad del n´mero Y de cartas que debe
o
u
enviar para obtener exactamente k respuestas.

d).

La esperanza y varianzamatem´tica de la variable Y .
a

Ejercicio 72. Una caja con 12 art´
ıculos tiene 4 defectuosos. Si se
toma una muestra de 3, en un caso con reemplazamiento y en otro
sin reemplazamiento, ¿cu´l ser´ la probabilidad de no incluir art´
a
a
ıculos
defectuosos en la muestra?
Ejercicio 73. Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta que
aparece un 6. Si X mide el n´mero del lanzamientoen que ocurre. Se
u
pide:
a). ¿Qu´ funci´n de probabilidad tiene la variable aleatoria X?
e
o
b).

Calcular P (X = 3).

c).

Calcular P (X > 4).

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o

6

Ejercicio 74. Sea X una variable aleatoria geom´trica de par´metro
e
a
p. Demostrar que:
P (X > a + b|X > a) = P (X > b),
para cualesquiera constantespositivas a y b.
Ejercicio 75. Para controlar la natalidad, un pol´
ıtico algo exc´ntrico,
e
propone para los nuevos matrimonios la siguiente norma: unicamente
´
podr´n tener hasta un var´n y como m´ximo 5 hijos. Sea X la variable
a
o
a
n´mero de hijos y V la variable n´mero de varones de un matrimonio.
u
u
Se pide:
a). Probabilidad de que un matrimonio solo tenga un hijo.
b).Probabilidad de que un matrimonio tenga k hijos.

c).

N´mero medio de hijos por matrimonio.
u

d).

N´mero medio de varones por matrimonio.
u

e).

¿Reduce esta norma la frecuencia de varones en la poblaci´n?
o

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o

7

Ejercicio 76. Tres personas A, B, y C lanzan sucesivamente en el
orden A, B, C un dado. La...