Distribución de Probabilidad

Distribución de Probabilidad
En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de lavariable aleatoria.
La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

La distribución Normal suele conocerse como la campana de Gauss".

Distribución de variable discreta.
Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función deprobabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de  finitoo infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas lasprobabilidades desde hasta el valor .

Distribuciones de variable discreta más importantes:

1. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL:
En estadística, la distribución binomial  es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoullise caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomialse convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.
Su función de probabilidad es

donde 
siendo  las combinaciones de  en  ( elementos tomados de  en )

EJEMPLOS:
Supongamos que se lanza un dado (con 6 caras) 50 veces y queremos conocer la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

Se dice que el 75%de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no  se atribuyan a errores humanos.
 
Solución:
a) n = 5
x = variable que nosdefine el número de accidentes debidos a errores humanos
x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humano
p = p(éxito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75
q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25
 
                                
 
b)     
 
                                             
 



c) En este caso cambiaremos elvalor de p;
n =5
x = variable que nos define el número de accidentes que no se deben a errores de tipo humano
x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores humanos
p = p(probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) = 0.25
q = p(probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1-p = 0.75
 
                  

Simulacion con R-Project del ejercicio decalcular la probabilidad P(X=5) de una distribucion binomial B(20,0.3) de probabilidad. Se puede hacer de varias maneras. 
Programa. 
>dbinom(5,size=20,prob=0.3)
[1] 0.1788631


2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA:
En estadística la distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal.
El número de experimentos de Bernoulli de...