Distribución muestral de la razón de dos varianzas

Distribución muestral de la razón de dos varianzas
(Distribución F)
El estudio de la Distribución muestral de la razón de dos varianzas es muy valiosa ya que con frecuencia en la industria y enotras aplicaciones en el campo científico surge la necesidad de comparar la variabilidad de dos procesos determinados, para tal fin se utiliza el cociente de las varianzas de dos muestras aleatorias eindependientes y de acuerdo al resultado arrojado se puede concluir cual es la relación entre el comportamiento de ambos procesos.
Definición:
Supongamos dos poblaciones independientes y distribuidasnormalmente N (µ1, σ12) y N (µ2, σ22). Si de ellas obtenemos respectivamente dos muestras aleatorias independientes con varianza S12 Y S22 y de tamaño n1 y n2 respectivamente, entonces, la variablealeatoria se definirá como el cociente de:
F= (S12/ σ12)
(S22/ σ22)

La cual tiene distribución F con grados de libertad n1 –1 y n2 –1, esto es, F  F (n1 – 1, n2 – 1).
Dicha expresión puede serobtenida partiendo de la definición de la función F:

A continuación construiremos nuestras variables U y V partiendo del siguiente teorema de la Distribución de la varianza muestral:

En nuestrocaso U= (n1-1) S12/ σ12 X2(n1-1) y V= (n2-1) S22/ σ22 X2(n2-1). Siendo U y V independientes. Por lo tanto de la distribución de Fisher obtendremos:
F= U/(n1-1) = S12/σ12 ; F  F (n1– 1, n2 – 1)
V/(n2-1) S22/σ22
Problema 1.-
Se está comparando la variabilidad de los caudales de dos ríos A y B, que suponemos siguen distribuciones normales. Se realizan 11mediciones en el río A y se obtiene una varianza de 9.625, a su vez se realizan 13 mediciones en el río B y se obtiene una varianza de 7. Obtener la probabilidad de que la varianza en el río B sea comomínimo el doble de la varianza en el río A.

Solución
Sea:
X: “Caudal del río A”  N(X ; )
Y: “Caudal del río B”  N(Y ; )
Se desea calcular: P( ≥ 2 )
Se tiene que la variable...