Distribucuion de variables

 Pruebas de hipótesis de la diferencia de las medias de dos poblaciones con varianzas conocidas:

Teniendo en cuenta dos medias y las medias de dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 seleccionadas respectivamente de dos poblaciones independientes, con medias µ1 y µ 2 y varianzas varianzas σ1 y σ2 respectivas supuestas conocidas.

Si las dos poblaciones sonnormales, entonces las estadísticas X1 y X2 tienen respectivamente distribución normal N (µ1, σ12/ n1) y N (µ2, σ22/ n2) para n1 ≥ 2 y n 2 ≥ 2. Luego, la estadística tiene distribución exactamente normal
N (µ1 - µ2, σ12/ n1 + σ22/ n2).

Si las dos poblaciones no son normales pero n1 y n 2 son suficientemente grandes (n1 ≥ 30 y n 2 ≥ 30) entonces g tienendistribución aproximadamente normal
N (µ1, σ12/ n1) y N (µ2, σ22/ n2).

Luego, según sean las dos poblaciones normales o no, la estadística

N (0,1)

Tiene distribución exactamente o aproximadamente normal N (0, 1).
Para probar la hipótesis nula H0: µ1 = µ2 o H0: µ1 - µ2 = 0 contra cualquier alternativa bilateral o unilateral, en la distribución Z, donde se hace µ1 - µ2 = 0especificada por H0 se ubica la región crítica RC de la prueba cuya probabilidad sea α.

El valor de Z calculada de la muestra es:

Donde el denominador es el ET (error típico) de la diferencia de medias.

La regla de decisión de una prueba bilateral o unilateral de dos medias consiste en rechazar Ho si Zcal є RC y no rechazar Ho en caso contrario.

La estructura de la prueba es similar a loscasos descritos en la sección 10.2, usando la distribución de Z.

1) Prueba bilateral o de dos colas.
Si se prueba H0: µ1 = µ2 contra H1: µ1 ≠ µ2 al nivel de significación α, la región crítica de la prueba en el rango de variación de Z es el intervalo:
RC = {Z 1-α/2}

2) Prueba unilateral de cola a la derecha.
Si se prueba H0: µ1 = µ2 contra H1: µ1 > µ2 al nivel de significación α, laregión critica de la prueba en la variable Z es el intervalo:
RC = {Z >z1-α}

3) Prueba unilateral de cola a la izquierda.
Si se prueba H0: µ1 = µ2 contra H1: µ1 < µ2 al nivel de significación α, la región critica de la prueba en el rango de valores de Z es el intervalo:
RC = {Z d0
c) H0: µ1 - µ2 = d0 contra H1: µ1 - µ2 < d0

*El valor calculado de Z es:

*Ejemplo:

La firma P & Crealiza un estudio comparativo del rendimiento diario de dos de sus líneas de producción del turno noche. Para esto observo el numero de unidades producidas por cada una de las líneas 1 y 2 durante 60 turnos, y obtuvo las medias 1230 y 1190 y las varianzas 14400 y 8100 respectivamente.

a) Al nivel de significación del 5%, ¿Es valido inferir que la línea 1 rinde más que la línea 2?
b) Al nivelde significación del 5%, ¿cree usted que la línea 2 produce en promedio menos de 7 unidades debajo del promedio de la línea 1?
c) ¿En cuanto debería incrementarse los tamaños de la muestras de cada línea para que la diferencia positiva de 40 unidades observada en los promedios muestrales sea significativa al nivel α = 1%?

*Solución:

Sean X1 y X2 las variables que definen las poblacionesde las unidades producidas por las líneas 1 y 2 respectivamente en el turno de noche. Se desconocen las distribuciones de probabilidades de cada una de las poblaciones, pero se tienen muestras grandes.

De la muestra se obtienen…
n1 = 60, = 1230, S12 = 14400,
n2 = 60, = 1190, S22 = 8100.

Entonces, el error típico es 19.3649.

a) 1. Hipótesis: Probaremos, Ho : µ1 = µ2 contraH1: µ1 > µ2

2. Estadística y región critica: La estadística de la prueba especificada por Ho cuando es supuesta verdadera esta dada por:


N (0,1)

En esta campana de Gauss, dado el nivel de significación α = 0.05 y dado que la hipótesis H1 indica una prueba unilateral de cola a la derecha, se ubica el valor critico z0.9500 = 1.645. Luego la región crítica de la prueba es,
RC...