divergencia

El Teorema de la Divergencia, la Ley de Gauss y la Ley de Coulomb
En muchas ocasiones (no sé si ocurra en todos lados), en física, los primeros cursos que se dan prescinden de herramientas matemáticas necesarias para un entendimiento suficiente de la materia que se trata, por ejemplo un primer curso de mecánica clásica normalmente prescinde de la geometría diferencial de curvas, un primer cursode hidrodinámica o un primer curso de electromagnetismo prescinden del análisis vectorial, etc... Siempre me ha sido molesto el que se haga de ese modo, y en lo personal he pasado bastantes horas infernales luchando por entender situaciones que luego me resultarían tan inocentes (como la que expongo en esta entrada). Entiendo que muchas veces el prescindir del formalismo matemático incluso ayudaa la intuición física, sin embargo cuando la situación se vuelve más abstracta, más general, más real, el no usar correcta y hábilmente (si bien no formalmente) las herramientas matemáticas necesarias, se vuelve un dolor de cabeza innecesario y un impedimento que obliga a memorizar y a escribir símbolos simplemente por hacerlo (dígase: aprobar cursos).


Un ejemplo claro es este vídeo, cuandose dicen cosas como "I did decently in physics and I remember [the balls fall at a constant speed]" o "Like... in real life?" ("He salido decentemente en física y recuerdo [que los balones caen con velocidad constante]" o "Como... ¿en la vida real?")


  
la gente suele "aprender" más por memoria que por entendimiento, y aunque no digo que lo sea todo, poder argumentar lógicamente por ejemplo,porqué la aceleración de los balones (caída libre) es independiente de la masa, es clave para lograr un entendimiento amplio de la situación. A pesar de mi patológico rechazo a la multitud, sé que las personas no son estúpidas y sé que disfrutan entender las cosas al igual que yo lo hago.

Podría desviarme más de esta entrada, sin embargo no es de mi interés. Sólo compartiré las palabras que seatribuyen a David Hilbert:
Ach, die Physik! Die ist ja für die Physiker viel zu schwer! 
¡Ah, física! ¡Es demasiado difícil para los físicos!
Bueno, aquí muestro la relación entre la ley de Coulomb del inverso del cuadrado de la distancia, la ley de Gauss, la ecuación de Maxwell y el teorema de la divergencia, comenzando por los dos últimos; la razón de todo el preámbulo fue que en un cursointroductorio de electrostática y magnetostática en que se trataba la ley de Gauss y la ley de Coulomb, siempre me resultó oscura y diarreicamente infernal la ley de Gauss y las misteriosas integrales con el maldito circulito en medio y cómo demonios las calculaba el profesor !@@!"#%#%$#%"%&$#!! (al que terminé detestando, por cierto); el consejo que te daría para leer esto sin sentir náuseas, comoyo, se sigue por obviedad.

Lo siguiente es parte de los ejercicios que se encuentran aquí.

Partiendo de la ecuación de Maxwell que dice que
∇⋅E=ρε0
donde ρ es carga distribuida sobre un volumen V, aplicando el teorema de la divergencia obtenemos
∫V∇⋅EdV=∫Vρε0dV
∮SE⋅dS=ρε0∫VdV=ρVε0
y ya que ρ=qV y S es una superficie cerrada
∮SE⋅dS=qε0
i.e. la Ley de Gauss con q en el origen de S. 
Ahora supóngase que el campo eléctrico que produce q es esféricamente simétrico, i.e. la carga es estacionaria (recordando el curso de electrostática), en ese caso, para una esfera S de radio r y E=E(r)r^,
∮SE⋅dS=E⋅∮SdS=(E⋅n^)∮SdS=4πr2E(r)
es decir
E(r)=14πε0qr2⟺E=14πε0qr2r^
que es la famosísima Ley de Coulomb

Reitero que demostrar lo anterior me ha servido mucho más que haber hecho X(MUCHOS) ejercicios y cálculos sin entender qué jodidos estaba haciendo y simplemente repitiéndome "El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga que encierra dicha superficie". Al menos en mi persona perdura mucho más la impresión que causa una demostración matemática (para descubrir la ley de Gauss y su forma diferencial, es decir, la ecuación de Maxwell, se...