Divergencia

LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL

CARMEN SÁNCHEZ DÍEZ

LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL EN COORDENADAS
RECTÁNGULARES, ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS:
Del teorema de la divergencia, se tiene:r
rr
div( f ).dτ = ∫ f .dS
∫

V

S

y podemos escribir en forma diferencial para coordenadas generales q1, q2, q3:

r
∂rr
∂rr
∂rr
div( f ).dτ =
( f 1 .dS1 ).dq1 +
( f 2 .dS 2 ).dq 2+
( f 3 .dS 3 ).dq 3
∂q1
∂q 2
∂q3

Expresión en coordenadas rectangulares o cartesianas:
En estas coordenadas es: dSq1 = dy.dz , dSq2 = dx.dz, dSq3 = dxdy
Y también es el elemento diferencialde volumen dτ = dx.dy.dz
Por tanto:

r
∂
∂
∂
div( f ).dτ = ( f 1 .dy.dz ).dx + ( f 2 .dxdz ).dy + ( f 3 .dxdy ).dz ⇒
∂x
∂y
∂z
r
∂f 3
∂f 1
∂f 2
1
1
1
⇒ div( f ) =
.dy.dz.dx +.dy.dz.dx +
.dy.dz.dx =
dx.dy.dz ∂x1
dx.dy.dz ∂x 2
dx.dy.dz ∂x3
=

∂f1 ∂f 2 ∂f 3
+
+
∂x1 ∂x 2 ∂x3
r
∂f
∂f
∂f
div( f ) = 1 + 2 + 3
∂x1 ∂x 2 ∂x3

Expresión en coordenadas esféricas:
Enestas coordenadas es:

dSq1 = ρ 2 .senθ .dθ .dφ , dSq2 = ρ.senθ .dρ.dφ , dSq3 = ρ.dρ.dθ
Y también es dτ =

ρ 2 .senθ .dρ.dθ .dφ

Por tanto:

Octubre 2004, Para casanchi.com

LA DIVERGENCIA DEUN CAMPO VECTORIAL

CARMEN SÁNCHEZ DÍEZ

r
∂
∂
∂
div( f ).dτ =
( f1 .dS ρ ).dρ +
( f 2 .dSθ ).dθ +
( f 3 .dSφ ).dφ ⇒
∂ρ
∂θ
∂φ
r
∂ ( f1 .ρ 2 .senθ .dθ .dφ )
1
.dρ +
⇒ div( f ) = 2∂ρ
ρ .senθ .dρ .dθdφ
∂ ( f 2 .ρ .senθ .dρ .dφ )
1
.dθ +
+2
∂θ
ρ .senθ .dρ .dθ .dφ
∂ ( f 3 .ρ .dρ .dθ )
1
+2
.dφ
∂φ
ρ .senθ .dρ .dθ .dφ
O sea:

r
∂ ( f 2 .senθ .)
1 ∂ ( f 1 .ρ 2 )
1
1∂( f 3 )
div( f ) = 2
+
+
∂ρ
ρ .senθ .
∂θ
ρ .senθ ∂φ
ρ

Expresión en coordenadas cilíndricas:
En estas coordenadas es:

dSq1 = ρ.dφ.dh dSq2 = dρ.dh dSq3 = ρ.dρ.dφ
Y también es dτ =ρ.dρ.dφ.dh

Por tanto:

r
∂
∂
∂
div( f ).dτ =
( f1 .dS ρ ).dρ +
( f 2 .dS φ ).dφ + ( f 3 .dS h ).dh ⇒
∂ρ
∂φ
∂h
r
∂ ( f 1 ρ .dφ .dh)
1
⇒ div( f ) =
.dρ +
ρ .dρ .dφ .dh
∂ρ
∂ ( f...