Diversos Temas

Para comenzar deberíamos recordar un par de ideas:
* Un triangulo rectángulo es un triangulo que tiene un angulo recto, es decir de 90°.
* En un triangulo rectángulo, el lado mas grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema de pitagoras:
* En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de loscatetos.

Teorema de Pitagoras |
En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. |

* Si un triangulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, la medida de la hipotenusa es C, se establece que:
Pitagoras () - formulas practicas |
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Demostraciones:
Si tenemos un triangulo rectángulo como el del dibujodel enunciado del teorema podemos contruimos un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, mas lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura.
El area de este cuadrado será (b+c)2.
si ahora trazamos las hipotenusas de los triangulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El area del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la sumade las areas de los cuatro triangulos rectángulos azules (base por altura partido por 2):
Mas el area del cuadrado amarillo . Es decir, el area del cuadrado grande también es el area del cuadrado pequeño mas 4 veces el area del triangulo:

Podemos igualar las dos formas de calcular el area del cuadrado grande y tenemos:

Si ahora desarrollamos el binomio, nos que:

que después desimplificar resulta lo que estábamos buscando:

Demostraciones supuestas de Pitágoras

Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.
Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.1
3Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es laaltura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.
* Dela semejanza entre ABC y AHC:
y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

* De la semejanza entre ABC y BHC:

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

Pero , por lo que finalmente resulta:

La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras parademostrar su teorema
Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.
Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

obtenemos después de simplificar que:

pero siendo  la razón de semejanza, estáclaro que:

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".
Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:
 (I)
y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

pero según (I) , así que:

y por lotanto:

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.
Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.
Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a,b, c, y los cuadrados...