Dividir un icosaedro en 20 pirámides iguales

Geometría, ponencia para el XV Congreso Nacional de Enseñanza de las
Matemáticas
Profr. Manuel Vara Orozco.
9,10 y 11 deDic. 1999 U.P.N.

1- Construir un icosaedro y llenarlo con veintepirámides triangulares iguales
El icosaedro tendrá un volumen de 1,000 cm3 = ( 1 dm 3 ).
Fórmula del volumen de un icosaedro: V= 2.1817 a3 donde a es la arista del icosaedro.
Si V = 1,000cm3
Entonces: 1000= 2.1817 a3

a3=

1 ' 000
2.1817

458.3581611

a= \y458.3581611 = 7.710247564 cm
que es la medida de la arista del icosaedro.
Si el icosaedro se llena con 20 pirámides triangularesiguales, tendrán igual volumen.
El volumen de una pirámide será:

V

._1,000cm 3
—

cn
3
= 50 cm

El volumen de una pirámide se calcula con la fórmula:
V

-

AbH

3
donde Ab es el área dela base de la pirámide y H es la altura de la pirámide.
Si V = 50 cm3, entonces:

50 -

AbH

3
150 = AbH
La base de la pirámide es un triángulo equilátero cuyo lado mide lo que mide laarista
del icosaedro.

El área de un triángulo es A del triángulo.

b h donde b es la base del triángulo y h es la altura
2

Para calcular h se aplica el teorema de Pitágoras:
(7.71) 2 =h 2(3.855)2

h 2 =(7.71) 2 -(3.855) 2
h2 = 59.4479175 - 14.86197937
h2 = 44.58593813
h=

a=7.71 cm

44.58593813

h= 6.67727026
Área del triángulo:

A- bh
3.855123782 cm

La arista delicosaedro es la base del triángulo = 7.710247564 cm
La altura del triángulo es h= 6.67727026 cm
A - (7.71) (6.677)
2

- 25.74170338 cm2

Del volumen de ¡a pirámide se obtuvo: 150 = AbH
- 150 _
Ab1 5O

25.74170338

= 5.82712021 cm

3.855cm

Un ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°.
La línea AD divide al ángulo BAE en dos ángulos iguales, cada uno de 30C
Aplicandotrigonometría:
tan 30°= Cateto opuesto
=
Cateto adyacente

BC .
3.855

BC= 3.855 tan 30°= ( 3.855) ( 0.577350269) = 2.225756753 cm

H= 5.827 cm

2.225 cm
BV es el apotema lateral de la...