División de un segmento en una razón dada
Páginas: 2 (288 palabras)
Publicado: 5 de septiembre de 2010
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades.Las razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas.
La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidadeshomogéneas con el objeto de saber cuantas veces la una contiene a la otra.
Observación: En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo osentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos.
Consideramos los puntos A(X1,Y1) y B(X2, Y2) los extremos de una recta. Sea P(X, Y) el punto de división quese encuentra entre la recta, como se indica en la figura:
Por su diferencia de segmentos se obtienen los valores de los catetos de dos triángulos rectángulosformados:
El punto P(X, Y) divide el segmento en la relación , como AB y PB mismo sentido el valor de r será positivo,
Si el punto P(X, Y) se encuentra fuerade los extremos A y B en el sentido de AP y PB serían opuestos y el valor de r será negativo como se indica en la figura siguiente:
Considerando los triángulossemejantes formados tendremos una relación de hipotenusas y catetos de la siguiente manera:
Despejando a X;
, ,
factorizando
por lo tanto:
Análogamente:despejando Y;
, , , factorizando
, por lo tanto:
Caso Particular:
Si el punto de división P(X, Y) está a la mitad del segmento AB como se indica en lafigura tendremos:
Las coordenadas de P(X, Y) con el valor de r = 1 serán:
En este caso el punto P(X, Y) se le llaman el punto medio Pm y tendremos:
Donde:
El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades.Las razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas.
La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidadeshomogéneas con el objeto de saber cuantas veces la una contiene a la otra.
Observación: En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo osentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos.
Consideramos los puntos A(X1,Y1) y B(X2, Y2) los extremos de una recta. Sea P(X, Y) el punto de división quese encuentra entre la recta, como se indica en la figura:
Por su diferencia de segmentos se obtienen los valores de los catetos de dos triángulos rectángulosformados:
El punto P(X, Y) divide el segmento en la relación , como AB y PB mismo sentido el valor de r será positivo,
Si el punto P(X, Y) se encuentra fuerade los extremos A y B en el sentido de AP y PB serían opuestos y el valor de r será negativo como se indica en la figura siguiente:
Considerando los triángulossemejantes formados tendremos una relación de hipotenusas y catetos de la siguiente manera:
Despejando a X;
, ,
factorizando
por lo tanto:
Análogamente:despejando Y;
, , , factorizando
, por lo tanto:
Caso Particular:
Si el punto de división P(X, Y) está a la mitad del segmento AB como se indica en lafigura tendremos:
Las coordenadas de P(X, Y) con el valor de r = 1 serán:
En este caso el punto P(X, Y) se le llaman el punto medio Pm y tendremos:
Donde:
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