DIVISI N POLINOMIOS REPASO DE SECUNDARIA

Cociente de polinomios
Para dividir un polinomio entre un polinomio,
seguiremos los siguientes pasos:

P( x)  2 x  x  20  11x  30 x
2
Q( x )  3 x  x  2
3

4

2

1º) Ordenamos los términos del dividendo (si falta
algún término, se deja el espacio) y del divisor y los
dispondremos como una división normal.

x  2x  11x  30x  20
4

3

2

x  3x  2
2

Cociente de polinomios (II)
2º) Sedivide el primer término del dividendo con el
primer término del divisor, así se obtiene el primer
término del cociente.

x  2x  11x  30x  20
3
4
2
 x  3x  2x
4

3

2

x  3x  2
2
x
2

x 2  3x  2
 x2

x 4  3x 3  2 x 2

3º) Se multiplica el primer término del cociente por
cada término del divisor y el producto pasa restando al
dividendo.

Cociente de polinomios (III)
4º) Se sumanalgebraicamente.

x  2x  11x  30x  20 x  3x  2
4
3
2
2
 x  3x  2 x
x  5x
3
2
 5 x  9 x  30 x
x  3x  2
3
2
5x  15x  10 x
  5x
4

3

2

2

2

 5 x 3  15 x 2  10 x

5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entre
el primer término del divisor, así obtenemos el segundo
término del divisor. Este segundo término se multiplica
por el divisor y se pasa restando al dividendo.Cociente de polinomios (IV)
6º) Se repite el procedimiento hasta que
el grado del polinomio resto sea menor
que el grado del polinomio divisor.

x  2x  11x  30x  20 x  3x  2
4
3
2
2
 x  3x  2 x
x  5x  6
3
2
 5 x  9 x  30 x
3
2
5 x  15 x  10 x
2
6 x  20 x  20
2
 6x  18 x  12
2x  8
4

3

2

2

Cociente de polinomios
Polinomio dividendo

D(x) 

Polinomio divisor

x  2x  11x 30x  20 x  3x  2
2
x  5x  6
d (x) 
4

c(x) 
r (x) 

3

2

2

Polinomio cociente

Polinomio resto

2x  8

Cociente de polinomios
Prueba de la división:

D(x)  d (x)  c(x)  r (x)
2
2
( x  3x  2) ( x  5 x  6)  (2 x  8) 
x  5x  6 x  3x 15x  18x  2 x  10 x 12  2 x  8 
4

3

2

3

2

2

x  2x  11x  30x  20
4

3

2

Si el resto de la división es 0 (polinomio nulo), ladivisión
se llama exacta y se dice que:
 El polinomio D(x) es divisible por d(x), o múltiplo de d(x).
 El polinomio d(x) es factor por D(x), o divisor de D(x).

Cociente de polinomios
Realiza la siguiente división:
6x3 – 17x2 + 15x – 8

-6x3 +
-

8x2

3x – 4

2x2 - 3x + 1

9x2+ 15x
9x2- 12x
+

3x - 8
-3x + 4
- 4

8

6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4

Regla de Ruffini
La regla de Ruffini esun algoritmo que permite
obtener fácilmente el cociente y el resto de la
división de un polinomio por un binomio de la
forma x-a.

D( x )  2 x  x  3 x  5
d ( x)  x  1
3

2

1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor.

Regla de Ruffini (II)

d ( x)  x  1

D( x)  2 x 1x  3x  5
3

2

2º) Se colocan los coeficientes
de cada término. Si no
apareciese algún término
entre el demayor grado y el
de menor se coloca un 0.

2
2
3

3º) A la izquierda se pone el número que se resta a x en d(x),
en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de
mayor grado.
4º) Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el
que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del
producto se coloca debajo del coeficiente del término
siguiente y se suman .

Regla de Ruffini(III)
5º) El resultado de la suma
se vuelve a multiplicar por el
número situado a la izquierda
y se repite el proceso.

2 1 3 5
3
0
2
1
0 5
2 3

El último número (recuadro rojo) se corresponde con
el resto de la división mientras que el resto de
números de la fila inferior son los coeficientes del
cociente.

D( x )  2 x  x  3 x  5
2
c( x)  2 x  3x
3

2

d ( x)  x  1
r ( x)  5

Regla deRuffini (III)
Realiza las siguientes divisiones, indicando el cociente y el
resto obtenido:

a) (2 x3  5x 2  30 x  11) : ( x  3)

2

-5
-3
-6
2 -11

-30
33
3

11
-9
2

Cociente : 2 x 2  11x  3
Resto: 2

b) ( x 4  3x  22) : ( x  2)

-1

0 0 -3 22
2
-2 -4 -8 -22
-1 -2 -4 -11 0
Cociente :  x3  2 x 2  4 x  11
Resto: 0

NOTA: El polinomio cociente es de un grado menor que el
dividendo...