Divisibilidad En El Conjunto De Los Numero Naturales

DIVISIBILIDAD EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES
La división es posible en el conjunto de los números enteros siempre que el dividendo sea múltiplo del divisor. Lo mismo que para los números naturales dados dos números, x, y Є Ζ, cualquiera de las cuatro fases.
Y divide a X
X es divisible por Y
Y es divisor de X
X es múltiplo de Y
Significa que existe un tercer numero C Є Ζ. Talque
x= y.c
El número cero sigue jugando el mismo papel singular:
1.- El único múltiplo de cero es el propio cero.
2.- El número cero es múltiplo universal

* Si al dividir un número entre otro la división es exacta decimos que el primer número es múltiplo del segundo o lo que es lo mismo que el segundo es divisor del primero.

2 – MULTIPLOS DE UN NÚMERO
Si multiplicamos un númerocualquiera, por ejemplo el 3 por 1, 2, 3, 4, etc.. Obtenemos: 3, 6, 9, 12, etc. el
Conjunto formado por los resultados de estas multiplicaciones será el conjunto de todos los múltiplos de 3 y
lo representaríamos así: múltiplos del 3 = {3, 6, 9, 12, .....}, como puedes ver el conjunto de los múltiplos de
un número es infinito y por tanto imposible de escribirlo en su totalidad, pero si podemosescribir algunos de
ellos.

3 – DIVISORES DE UN NÚMERO
Observa las siguientes divisiones:

Fijándonos en las divisiones anteriores, vemos que el 6 tiene 4 divisores, luego el conjunto de los divisores
del 6 sería y se representaría así: divisores del 6 = {1, 2, 3, 6}

4 – CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD MÁS IMPORTANTES
Para saber si un número es múltiplo o divisible por otro hay que hacer ladivisión, salvo en los siguientes
Casos:
1º Un número es múltiplo o divisible por 2 cuando acaba en 0 o en cifra par.
Ejemplos:
106 es múltiplo de 2 porque acaba en 6 que es par.
45 no es múltiplo de 2 porque acaba en 5 que no es par.
350 es múltiplo de 2 porque acaba en 0.

2º Un número es múltiplo o divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Ejemplos:
435 4 + 3+ 5 = 12 y como 12 es múltiplo de 3 también lo es 435
923 9 + 2 + 3 = 14 y como 14 no es múltiplo de 3 tampoco lo es 923.

3º Un número es múltiplo o divisible por 5 cuando acaba en 0 o en 5.
Ejemplos:
120 es múltiplo de 5 porque acaba en 0.
473 no es múltiplo de 5 porque no acaba ni en 0 ni en 5.
235 es múltiplo de 5 porque acaba en 5.

5 – NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Número primo esel que sólo tiene dos divisores: el 1 y el propio número.

Ejemplo: El número 7 es primo ya que los divisores del 7 = {1, 7}
Número compuesto es el que tiene más de dos divisores.

Ejemplo: El número 9 es compuesto ya que los divisores del 9 = {1, 3, 9}

* Los números primos que hay del 1 al 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,83, 89 y 97.

6- DESCOMPOSICION FACTORIAL
Descomponer factorialmente un número es expresarlo como producto de números primos, para ello se va
Dividiendo el número entre los sucesivos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc. .. Hasta que el último
Cociente sea 1, siempre que las divisiones sean exactas.

7 – MAXIMO COMUN DIVISOR DE VARIOS NÚMEROS
Se llama máximo común divisor de variosnúmeros al mayor de los divisores comunes a varios números.
Para calcularlo se hace lo siguiente:
1º Se descomponen factorialmente los números.
2º Se toman los factores repetidos elevados al menor exponente con el que aparezcan y se multiplican.

8 – MINIMO COMÚN MULTIPLO DE VARIOS NÚMEROS
Se llama mínimo común múltiplo de varios números al menor de los múltiplos comunes a varios números.
Paracalcularlo se hace lo siguiente:
1º Se descomponen factorialmente los números.
2º Se toman los factores repetidos y no repetidos elevados al mayor exponente con el que aparezcan y
se multiplican.

EJERCICIOS:
1) ¿Es 123 múltiplo de 7? ¿Por qué?

2) ¿Es 7 divisor de 98? ¿Por qué?

3) De los siguientes números: 20, 36, 55, 127, 1430, 2670 ¿cuáles son múltiplos de 6?

4) De los...