Divisibilidad, teoría de números

Problemas de Divisibilidad
December 28, 2009

1. Pruebe que si P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 es un polinomio
donde an , an−1 , . . ., a1 , a0 son enteros, y si el número racionalz = r es
s
una raíz de P (x) con r y s primos relativos (es decir, r es simplicada),
s
entonces s | an y r | a0 . Obtenga todas las raíces racionales de 10x3 −
12x2 + 3x + 3 = 0. Pruebe que losúnicos enteros positivos que tienen raíz
cuadrada racional son 1, 4, 9, 16, 25, ...
2. Sea n la suma de todas las cifras del número 55555555 , sea m la suma de
todas las cifras de n y sea r la sumade todas las cifras de m. Encuentre
r.
3. Sean n, m y r tres números naturales tales que n2 + m2 = r2 (se dice
entonces que estos tres números forman una terna pitagórica ). Pruebe
que 30 | n · m· r.
4. Encuentre todos los enteros positivos n tales que n + 1 divide a n2 + 1.
5. Encuentre todos los números primos que son tanto suma de dos primos
como diferencia de dos primos.
6. Encuentretodos los triángulos rectángulos con un cateto e hipotenusa
enteros sabiendo que el otro cateto mide la raíz cuadrada de 1988.
7. En cualquier colección de 7 o más enteros siempre hay dos cuya suma odiferencia es divisible entre 11.
8. Se tienen n focos apagados y numerados del 1 al n. También se tiene
una la de n personas P1 , P2 , . . ., Pn . Cada persona Pi pasa junto a los
focos ycambia de estado (apaga el que está prendido y prende el que está
apagado) a los que están numerados con un múltiplo de i. ¾Cuáles focos
quedarán prendidos después de que pasen todas las personas?
9.Muestre que para cualquier entero positivo n, existen n enteros cosecutivos
que no son primos.
10. Pruebe que todo entero positivo tiene un múltiplo en cuya representación
decimal aparecen los diezdígitos.
11. Muestre que todo número racional tiene una expansión decimal periódica.
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12. Pruebe que si un número real tiene una expansión decimal periódica, entonces el número es racional....